Номер 630, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 630, страница 111.

Условие.

630. Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражения:

1) $* - 56a + 49;$

2) $9c^2 - 12c + *;$

3) $* - 42xy + 49y^2;$

4) $0,01b^2 + * + 100c^2;$

5) $a^2b^2 - 4a^3b^5 + *;$

6) $1,44x^2y^4 - *y + 0,25y^6;$

7) $64 - 80y^{20} + *y^{40};$

8) $\frac{9}{25}a^6b^2 - a^5b^5 + *?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, используются формулы квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ и квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

1)

В выражении $ * - 56a + 49 $ применим формулу квадрата разности. Здесь один из квадратов равен $49$, значит, один из членов двучлена равен $7$. Пусть это будет $B$, то есть $B=7$. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-56a$. Подставим $B=7$: $-2 \cdot A \cdot 7 = -56a$, что даёт $-14A = -56a$. Отсюда находим $A = \frac{-56a}{-14} = 4a$. Искомый одночлен — это $A^2 = (4a)^2 = 16a^2$. Выражение принимает вид $16a^2 - 56a + 49 = (4a-7)^2$.

Ответ: $16a^2$.

2)

В выражении $ 9c^2 - 12c + * $ применим формулу квадрата разности. Здесь один из квадратов равен $9c^2$, значит, один из членов двучлена равен $3c$. Пусть это будет $A$, то есть $A=3c$. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-12c$. Подставим $A=3c$: $-2 \cdot (3c) \cdot B = -12c$, что даёт $-6cB = -12c$. Отсюда находим $B = \frac{-12c}{-6c} = 2$. Искомый одночлен — это $B^2 = 2^2 = 4$. Выражение принимает вид $9c^2 - 12c + 4 = (3c-2)^2$.

Ответ: $4$.

3)

В выражении $ * - 42xy + 49y^2 $ применим формулу квадрата разности. Здесь один из квадратов равен $49y^2$, значит, один из членов двучлена равен $7y$. Пусть это будет $B$, то есть $B=7y$. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-42xy$. Подставим $B=7y$: $-2 \cdot A \cdot (7y) = -42xy$, что даёт $-14yA = -42xy$. Отсюда находим $A = \frac{-42xy}{-14y} = 3x$. Искомый одночлен — это $A^2 = (3x)^2 = 9x^2$. Выражение принимает вид $9x^2 - 42xy + 49y^2 = (3x-7y)^2$.

Ответ: $9x^2$.

4)

В выражении $ 0.01b^2 + * + 100c^2 $ применим формулу квадрата суммы. Здесь квадраты членов равны $0.01b^2$ и $100c^2$. Значит, члены двучлена равны $A = \sqrt{0.01b^2} = 0.1b$ и $B = \sqrt{100c^2} = 10c$. Искомый одночлен — это их удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot (0.1b) \cdot (10c) = 2bc$. Выражение принимает вид $0.01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0.1b+10c)^2$.

Ответ: $2bc$.

5)

В выражении $ a^2b^2 - 4a^3b^5 + * $ применим формулу квадрата разности. Пусть $A^2 = a^2b^2$, тогда $A=ab$. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-4a^3b^5$. Подставим $A=ab$: $-2 \cdot (ab) \cdot B = -4a^3b^5$. Отсюда находим $B = \frac{-4a^3b^5}{-2ab} = 2a^2b^4$. Искомый одночлен — это $B^2 = (2a^2b^4)^2 = 4a^4b^8$. Выражение принимает вид $a^2b^2 - 4a^3b^5 + 4a^4b^8 = (ab-2a^2b^4)^2$.

Ответ: $4a^4b^8$.

6)

В выражении $ 1.44x^2y^4 - *y + 0.25y^6 $ применим формулу квадрата разности. Квадраты членов равны $1.44x^2y^4$ и $0.25y^6$. Значит, члены двучлена равны $A = \sqrt{1.44x^2y^4} = 1.2xy^2$ и $B = \sqrt{0.25y^6} = 0.5y^3$. Средний член должен быть равен $-2AB = -2 \cdot (1.2xy^2) \cdot (0.5y^3) = -1.2xy^5$. В условии средний член записан как $-*y$. Приравниваем: $-*y = -1.2xy^5$, откуда $*y = 1.2xy^5$. Находим искомый одночлен: $* = \frac{1.2xy^5}{y} = 1.2xy^4$.

Ответ: $1.2xy^4$.

7)

В выражении $ 64 - 80y^{20} + *y^{40} $ применим формулу квадрата разности. Пусть $A^2 = 64$, тогда $A=8$. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-80y^{20}$. Подставим $A=8$: $-2 \cdot 8 \cdot B = -80y^{20}$, что даёт $-16B = -80y^{20}$. Отсюда $B = \frac{-80y^{20}}{-16} = 5y^{20}$. Последний член выражения равен $B^2 = (5y^{20})^2 = 25y^{40}$. В условии он записан как $*y^{40}$. Сравнивая $25y^{40}$ и $*y^{40}$, находим, что $* = 25$.

Ответ: $25$.

8)

В выражении $ \frac{9}{25}a^6b^2 - a^5b^5 + * $ применим формулу квадрата разности. Пусть $A^2 = \frac{9}{25}a^6b^2$, тогда $A = \frac{3}{5}a^3b$. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-a^5b^5$. Подставим $A$: $-2 \cdot (\frac{3}{5}a^3b) \cdot B = -a^5b^5$, что даёт $-\frac{6}{5}a^3bB = -a^5b^5$. Отсюда $B = \frac{-a^5b^5}{-\frac{6}{5}a^3b} = \frac{5}{6}a^2b^4$. Искомый одночлен — это $B^2 = (\frac{5}{6}a^2b^4)^2 = \frac{25}{36}a^4b^8$.

Ответ: $\frac{25}{36}a^4b^8$.