Номер 627, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 627, страница 111.

Условие.

627. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $b^2 - 2b + 1$

2) $4 + 4n + n^2$

3) $x^2 - 14x + 49$

4) $4a^2 + 4ab + b^2$

5) $9x^2 - 24xy + 16y^2$

6) $a^6 - 2a^3 + 1$

7) $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10}$

8) $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) $b^2 - 2b + 1$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата разности. Здесь $a^2=b^2$, что означает $a=b$, и $b^2=1$, что означает $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot b \cdot 1 = 2b$. Так как в выражении стоит знак минус, получаем:

$b^2 - 2b + 1 = (b)^2 - 2 \cdot b \cdot 1 + 1^2 = (b-1)^2$.

Ответ: $(b-1)^2$

2) $4 + 4n + n^2$

Переставим члены для удобства: $n^2 + 4n + 4$. Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы. Здесь $a^2=n^2$, что означает $a=n$, и $b^2=4$, что означает $b=2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot n \cdot 2 = 4n$.

$4 + 4n + n^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot n + n^2 = (2+n)^2$.

Ответ: $(2+n)^2$

3) $x^2 - 14x + 49$

Используем формулу квадрата разности. Здесь $a^2=x^2$, значит $a=x$, и $b^2=49$, значит $b=7$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 7 = 14x$.

$x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x-7)^2$.

Ответ: $(x-7)^2$

4) $4a^2 + 4ab + b^2$

Применяем формулу квадрата суммы. Здесь первый член $(2a)^2=4a^2$, значит $a=2a$, и второй член $b^2$, значит $b=b$. Проверим средний член: $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$.

$4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = (2a+b)^2$.

Ответ: $(2a+b)^2$

5) $9x^2 - 24xy + 16y^2$

Применяем формулу квадрата разности. Первый член $(3x)^2=9x^2$, значит $a=3x$. Второй член $(4y)^2=16y^2$, значит $b=4y$. Проверим средний член: $2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$.

$9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = (3x-4y)^2$.

Ответ: $(3x-4y)^2$

6) $a^6 - 2a^3 + 1$

Используем формулу квадрата разности. Заметим, что $a^6 = (a^3)^2$. Тогда $a=a^3$ и $b=1$. Проверим средний член: $2 \cdot a^3 \cdot 1 = 2a^3$.

$a^6 - 2a^3 + 1 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 1 + 1^2 = (a^3-1)^2$.

Ответ: $(a^3-1)^2$

7) $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10}$

Применяем формулу квадрата разности. Первый член $36a^6 = (6a^3)^2$, значит $a=6a^3$. Второй член $49b^{10} = (7b^5)^2$, значит $b=7b^5$. Проверим средний член: $2 \cdot (6a^3) \cdot (7b^5) = 84a^3b^5$.

$36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10} = (6a^3)^2 - 2 \cdot 6a^3 \cdot 7b^5 + (7b^5)^2 = (6a^3-7b^5)^2$.

Ответ: $(6a^3-7b^5)^2$

8) $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $81x^4y^8 = (9x^2y^4)^2$, значит $a=9x^2y^4$. Второй член $4z^{12} = (2z^6)^2$, значит $b=2z^6$. Проверим средний член: $2 \cdot (9x^2y^4) \cdot (2z^6) = 36x^2y^4z^6$.

$81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12} = (9x^2y^4)^2 - 2 \cdot 9x^2y^4 \cdot 2z^6 + (2z^6)^2 = (9x^2y^4 - 2z^6)^2$.

Ответ: $(9x^2y^4 - 2z^6)^2$