Номер 620, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 620, страница 109.

Условие.

620. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:

1) $-x^2$;

2) $-x^2 + 4$;

3) $12 - (x - 1)^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Рассмотрим выражение $-x^2$.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если умножить обе части этого неравенства на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.

Это означает, что выражение $-x^2$ никогда не может быть положительным. Его наибольшее возможное значение равно 0. Это значение достигается, когда $x^2$ принимает свое наименьшее значение, то есть $x^2 = 0$, что происходит при $x = 0$.

Ответ: наибольшее значение 0 при $x = 0$.

2) Рассмотрим выражение $-x^2 + 4$.

Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, нужно найти наибольшее значение слагаемого $-x^2$ и прибавить к нему 4.

Как мы выяснили в предыдущем пункте, наибольшее значение выражения $-x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения $-x^2 + 4$ будет равно $0 + 4 = 4$. Это значение также достигается при $x = 0$.

Ответ: наибольшее значение 4 при $x = 0$.

3) Рассмотрим выражение $12 - (x - 1)^2$.

Это выражение является разностью, где уменьшаемое — константа 12, а вычитаемое — $(x - 1)^2$. Чтобы разность была наибольшей, вычитаемое должно быть наименьшим.

Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом и, следовательно, его значение всегда неотрицательно: $(x - 1)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять $(x - 1)^2$, равно 0. Это происходит, когда основание степени равно нулю: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Подставив наименьшее значение вычитаемого (0) в исходное выражение, мы получим его наибольшее значение: $12 - 0 = 12$.

Ответ: наибольшее значение 12 при $x = 1$.