Номер 621, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 621, страница 109.

Условие.

621. При каком значении переменной выполняется равенство:

1) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = -10;$

2) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 0;$

3) $(x^2-1)^2 + (x+1)^2 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = -10$

Рассмотрим левую часть равенства. Выражения $(x-1)^2$ и $(x+1)^2$ являются квадратами действительных чисел. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(x+1)^2 \ge 0$ при любых значениях x. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда является неотрицательным числом: $(x-1)^2 + (x+1)^2 \ge 0$. В правой части равенства стоит отрицательное число -10. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, следовательно, данное равенство не может выполняться ни при каких значениях переменной x.
Также можно решить уравнение, раскрыв скобки:
$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = -10$
$2x^2 + 2 = -10$
$2x^2 = -12$
$x^2 = -6$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: таких значений нет.

2) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 0$

Левая часть равенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(x-1)^2 \ge 0$ и $(x+1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия:
$ (x-1)^2 = 0 $ и $ (x+1)^2 = 0 $.
Из первого уравнения получаем $x-1 = 0$, то есть $x = 1$.
Из второго уравнения получаем $x+1 = 0$, то есть $x = -1$.
Поскольку переменная x не может одновременно принимать два разных значения (1 и -1), данная система уравнений не имеет решений.
Ответ: таких значений нет.

3) $(x^2-1)^2 + (x+1)^2 = 0$

Это равенство, как и предыдущее, является суммой двух неотрицательных слагаемых, которая равна нулю. Это возможно только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю одновременно. Запишем систему уравнений:
$ \begin{cases} (x^2-1)^2 = 0 \\ (x+1)^2 = 0 \end{cases} $
Решим каждое уравнение по отдельности.
Из первого уравнения:
$x^2-1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$.
Из второго уравнения:
$x+1 = 0$
$x = -1$.
Чтобы система имела решение, нужно найти общее значение x, удовлетворяющее обоим уравнениям. Таким значением является $x = -1$.
Ответ: $x = -1$.