Номер 615, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 615, страница 108.

Условие.

615. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть пять последовательных натуральных чисел равны $n-2, n-1, n, n+1, n+2$. Чтобы все числа были натуральными (то есть, $\ge 1$), необходимо, чтобы $n-2 \ge 1$, откуда $n \ge 3$.

Найдем сумму их квадратов, обозначив её $S$:

$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$

$S = 5n^2 + 0 \cdot n + 10$

$S = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)$

Допустим, что эта сумма является квадратом некоторого натурального числа $m$, то есть $S = m^2$.

$5(n^2 + 2) = m^2$

Из данного равенства следует, что $m^2$ должно быть кратно 5. Так как 5 — простое число, то и само число $m$ должно быть кратно 5. Представим $m$ в виде $m = 5k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Подставим это в наше уравнение:

$5(n^2 + 2) = (5k)^2$

$5(n^2 + 2) = 25k^2$

Разделим обе части на 5:

$n^2 + 2 = 5k^2$

Из этого уравнения следует, что выражение $n^2 + 2$ должно делиться на 5. Рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты натуральных чисел при делении на 5.

Любое натуральное число $n$ при делении на 5 может давать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Найдем остатки от деления на 5 для $n^2$:

• Если $n$ оканчивается на 0 или 5 (остаток 0), то $n^2$ оканчивается на 0 (остаток 0). $n \equiv 0 \pmod{5} \implies n^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
• Если $n$ оканчивается на 1 или 9 (остаток 1 или 4), то $n^2$ оканчивается на 1 (остаток 1). $n \equiv 1 \pmod{5} \implies n^2 \equiv 1 \pmod{5}$. $n \equiv 4 \pmod{5} \implies n^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n$ оканчивается на 2 или 8 (остаток 2 или 3), то $n^2$ оканчивается на 4 (остаток 4). $n \equiv 2 \pmod{5} \implies n^2 \equiv 4 \pmod{5}$. $n \equiv 3 \pmod{5} \implies n^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n$ оканчивается на 3 или 7 (остаток 3 или 2), то $n^2$ оканчивается на 9 (остаток 4).
• Если $n$ оканчивается на 4 или 6 (остаток 4 или 1), то $n^2$ оканчивается на 6 (остаток 1).

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4.

Теперь посмотрим, какой остаток при делении на 5 дает выражение $n^2 + 2$:

• Если $n^2$ дает остаток 0, то $n^2+2$ дает остаток $0+2=2$.
• Если $n^2$ дает остаток 1, то $n^2+2$ дает остаток $1+2=3$.
• Если $n^2$ дает остаток 4, то $n^2+2$ дает остаток $4+2=6$, что при делении на 5 дает остаток 1.

Следовательно, выражение $n^2+2$ при делении на 5 может давать остатки 1, 2 или 3. Оно никогда не делится на 5 нацело (то есть не дает остаток 0).

Мы получили противоречие. С одной стороны, из нашего предположения следует, что $n^2 + 2 = 5k^2$, то есть $n^2+2$ должно делиться на 5. С другой стороны, мы доказали, что $n^2+2$ не может делиться на 5 ни при каком натуральном $n$.

Значит, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: Доказано, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.