Номер 612, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 612, страница 108.

Условие.

612. При каком значении $a$ уравнение $(2a - 3x)^2 + (x - 1)^2 = 10(x - 2)(x + 2)$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение не имеет корней, необходимо сначала упростить данное уравнение, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное уравнение: $(2a - 3x)^2 + (x - 1)^2 = 10(x - 2)(x + 2)$.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(b-c)^2=b^2-2bc+c^2$ и разностью квадратов $(b-c)(b+c)=b^2-c^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(4a^2 - 12ax + 9x^2) + (x^2 - 2x + 1) = 10x^2 - (12a + 2)x + 4a^2 + 1$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$10(x^2 - 4) = 10x^2 - 40$.

Приравняем левую и правую части:
$10x^2 - (12a + 2)x + 4a^2 + 1 = 10x^2 - 40$.

Сократим $10x^2$ в обеих частях и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить линейное уравнение относительно $x$:
$-(12a + 2)x + 4a^2 + 1 + 40 = 0$
$-(12a + 2)x + (4a^2 + 41) = 0$.

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Bx + C = 0$, где $B = -(12a + 2)$ и $C = 4a^2 + 41$. Линейное уравнение не имеет корней в том случае, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю ($B=0$), а свободный член отличен от нуля ($C \neq 0$).

Найдем значение $a$, при котором коэффициент при $x$ обращается в ноль:
$-(12a + 2) = 0$
$12a + 2 = 0$
$12a = -2$
$a = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Теперь проверим, не равен ли нулю свободный член при этом значении $a$:
$C = 4a^2 + 41 = 4\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + 41 = 4\left(\frac{1}{36}\right) + 41 = \frac{4}{36} + 41 = \frac{1}{9} + 41 = 41\frac{1}{9}$.
Поскольку $C = 41\frac{1}{9} \neq 0$, условие выполняется.

Таким образом, при $a = -\frac{1}{6}$ исходное уравнение сводится к неверному равенству $0 \cdot x + 41\frac{1}{9} = 0$, что означает отсутствие корней.

Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.