Номер 606, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 606, страница 107.

Условие.

606. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — искомое натуральное число.

Согласно условию, остаток при делении числа $n$ на 25 равен 5. Это можно записать с помощью математического выражения для деления с остатком:
$n = 25 \cdot k + 5$
где $k$ — это частное от деления, являющееся целым неотрицательным числом ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Теперь нам необходимо найти квадрат этого числа, $n^2$, и доказать, что он кратен 25 (то есть делится на 25 без остатка).

Возведем в квадрат обе части нашего выражения:
$n^2 = (25k + 5)^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 25k$ и $b = 5$.
$n^2 = (25k)^2 + 2 \cdot (25k) \cdot 5 + 5^2$

Вычислим каждое слагаемое:
$n^2 = 625k^2 + 250k + 25$

Чтобы доказать, что полученное выражение кратно 25, необходимо показать, что 25 можно вынести за скобки как общий множитель.
$n^2 = 25 \cdot (25k^2) + 25 \cdot (10k) + 25 \cdot 1$
$n^2 = 25 \cdot (25k^2 + 10k + 1)$

Так как $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $(25k^2 + 10k + 1)$ также будет являться целым числом.

Таким образом, мы представили $n^2$ в виде произведения числа 25 и некоторого целого числа. Это по определению означает, что $n^2$ кратно 25. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если натуральное число $n$ при делении на 25 дает в остатке 5, его можно записать как $n = 25k + 5$. Тогда его квадрат $n^2 = (25k + 5)^2 = 625k^2 + 250k + 25 = 25(25k^2 + 10k + 1)$. Поскольку выражение в скобках является целым числом, $n^2$ кратно 25.