Номер 600, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 600, страница 107.

Условие.

600. Выведите формулу квадрата трёхчлена:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a+b-c)^2;$

2) $(a-b+4)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для вывода формулы квадрата трёхчлена $(a+b+c)^2$ можно воспользоваться уже известной формулой квадрата суммы двух слагаемых: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сгруппируем первые два слагаемых в трёхчлене и представим его как сумму двух выражений: $(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2$.

Теперь применим формулу квадрата суммы, где $x = (a+b)$ и $y=c$:

$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

Далее раскроем скобки в полученном выражении. Сначала возведём в квадрат двучлен $(a+b)$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Затем умножим $2c$ на двучлен $(a+b)$:

$2(a+b)c = 2ac + 2bc$

Подставим эти результаты обратно в выражение:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Уберём скобки и приведём многочлен к стандартному виду, расположив сначала квадраты, а затем удвоенные произведения:

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, формула квадрата трёхчлена доказана.

Теперь воспользуемся этой формулой для преобразования выражений.

1) $(a + b - c)^2$

Представим выражение в виде $(a + b + (-c))^2$ и применим формулу $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$, где $x=a$, $y=b$ и $z=-c$.

$(a + b + (-c))^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + 2ab + 2a(-c) + 2b(-c)$

Упростим полученное выражение:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$.

2) $(a - b + 4)^2$

Представим выражение в виде $(a + (-b) + 4)^2$ и применим ту же формулу, где $x=a$, $y=-b$ и $z=4$.

$(a + (-b) + 4)^2 = a^2 + (-b)^2 + 4^2 + 2a(-b) + 2a(4) + 2(-b)(4)$

Упростим полученное выражение:

$a^2 + b^2 + 16 - 2ab + 8a - 8b$

Приведём многочлен к стандартному виду:

$a^2 + b^2 - 2ab + 8a - 8b + 16$

Ответ: $a^2 + b^2 - 2ab + 8a - 8b + 16$.