Номер 597, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 597, страница 107.

Условие.

597. Каким числом, чётным или нечётным, является квадрат нечётного натурального числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся общим видом нечётного натурального числа.

Любое нечётное натуральное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, 3, \dots$).

Найдём квадрат этого числа, возведя выражение $2k + 1$ в квадрат:

$n^2 = (2k + 1)^2$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

В полученном выражении $4k^2 + 4k + 1$ можно вынести за скобки множитель 2 из первых двух слагаемых:

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

Пусть выражение в скобках равно $m$, то есть $m = 2k^2 + 2k$. Так как $k$ — целое число, то и $m$ будет целым числом.

Таким образом, мы получили, что квадрат нечётного числа можно записать в виде $2m + 1$. Эта формула является определением нечётного числа.

Следовательно, квадрат любого нечётного натурального числа всегда является нечётным числом.

Примеры:
$1^2 = 1$ (нечётное)
$3^2 = 9$ (нечётное)
$7^2 = 49$ (нечётное)

Ответ: нечётным.