Номер 593, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 593, страница 106.

Условие.

593. Докажите тождество:

1) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$;

2) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$;

3) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$;

4) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2+a^2) + (2ab-2ab) + (b^2+b^2) = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразований левая часть стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

---

2) Для доказательства тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ преобразуем его левую часть, используя те же формулы.

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, учитывая знак "минус" перед вторым выражением:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = (a^2-a^2) + (2ab+2ab) + (b^2-b^2) = 4ab$

Левая часть тождества равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

---

3) Для доказательства тождества $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ преобразуем его правую, более сложную, часть.

$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab - 2ab + b^2 = a^2 + b^2$

В результате преобразований правая часть стала равна левой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

---

4) Для доказательства тождества $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ (тождество Брахмагупты-Фибоначчи) преобразуем обе его части по отдельности.

Сначала преобразуем левую часть, раскрыв скобки:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Теперь преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = ((ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2)$

$= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Результаты преобразования левой и правой частей совпадают. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.