Номер 587, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 587, страница 106.

Условие.

587. Решите уравнение:

1) $(3x + 2)^2 + (4x - 1)(4x + 1) = (5x - 1)^2;$

2) $2(m + 1)^2 + 3(m - 1)^2 - 5(m + 1)(m - 1) = -4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(3x + 2)^2 + (4x - 1)(4x + 1) = (5x - 1)^2$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Левая часть:

$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$

$(4x - 1)(4x + 1) = (4x)^2 - 1^2 = 16x^2 - 1$

Правая часть:

$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$(9x^2 + 12x + 4) + (16x^2 - 1) = 25x^2 - 10x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2 + 16x^2) + 12x + (4 - 1) = 25x^2 - 10x + 1$

$25x^2 + 12x + 3 = 25x^2 - 10x + 1$

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону. Перенесем слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$25x^2 + 12x + 3 - 25x^2 + 10x - 1 = 0$

Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются. Приведем оставшиеся подобные слагаемые:

$(12x + 10x) + (3 - 1) = 0$

$22x + 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$22x = -2$

$x = -\frac{2}{22}$

Сократим дробь:

$x = -\frac{1}{11}$

Ответ: $-\frac{1}{11}$.

2) $2(m + 1)^2 + 3(m - 1)^2 - 5(m + 1)(m - 1) = -4$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(m + 1)^2 = m^2 + 2m + 1$

$(m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1$

$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2(m^2 + 2m + 1) + 3(m^2 - 2m + 1) - 5(m^2 - 1) = -4$

Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты перед ними:

$(2m^2 + 4m + 2) + (3m^2 - 6m + 3) - (5m^2 - 5) = -4$

$2m^2 + 4m + 2 + 3m^2 - 6m + 3 - 5m^2 + 5 = -4$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням $m$:

$(2m^2 + 3m^2 - 5m^2) + (4m - 6m) + (2 + 3 + 5) = -4$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 \cdot m^2 - 2m + 10 = -4$

Уравнение упрощается до линейного:

$-2m + 10 = -4$

Перенесем $10$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-2m = -4 - 10$

$-2m = -14$

Найдем $m$, разделив обе части уравнения на $-2$:

$m = \frac{-14}{-2}$

$m = 7$

Ответ: $7$.