Номер 584, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 584, страница 106.

Условие.

584. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $2m(m - 6)^2 - m^2(2m - 15)$, если $m = -4$;

2) $(2x - 5)^2 - 4(x + 1)(x - 7)$, если $x = -3,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Упростим выражение $2m(m-6)^2 - m^2(2m-15)$ и найдем его значение при $m = -4$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки. Начнем с квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(m-6)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 6 + 6^2 = m^2 - 12m + 36$.

Теперь подставим это в первое слагаемое и раскроем скобки, умножив $2m$ на каждый член многочлена:

$2m(m^2 - 12m + 36) = 2m \cdot m^2 - 2m \cdot 12m + 2m \cdot 36 = 2m^3 - 24m^2 + 72m$.

Далее раскроем скобки во втором слагаемом:

$-m^2(2m-15) = -m^2 \cdot 2m - m^2 \cdot (-15) = -2m^3 + 15m^2$.

Теперь объединим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(2m^3 - 24m^2 + 72m) + (-2m^3 + 15m^2) = (2m^3 - 2m^3) + (-24m^2 + 15m^2) + 72m = -9m^2 + 72m$.

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $m = -4$. Подставим это значение в упрощенное выражение:

$-9m^2 + 72m = -9(-4)^2 + 72(-4) = -9 \cdot 16 - 288 = -144 - 288 = -432$.

Ответ: -432.

2) Упростим выражение $(2x-5)^2 - 4(x+1)(x-7)$ и найдем его значение при $x = -3,5$.

Сначала упростим выражение. Раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.

Теперь раскроем произведение скобок $(x+1)(x-7)$:

$(x+1)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x + x - 7 = x^2 - 6x - 7$.

Умножим полученный многочлен на $-4$:

$-4(x^2 - 6x - 7) = -4x^2 + (-4)(-6x) + (-4)(-7) = -4x^2 + 24x + 28$.

Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 20x + 25) + (-4x^2 + 24x + 28) = (4x^2 - 4x^2) + (-20x + 24x) + (25 + 28) = 4x + 53$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -3,5$. Подставим это значение:

$4x + 53 = 4(-3,5) + 53 = -14 + 53 = 39$.

Ответ: 39.