Номер 580, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 580, страница 105.

Условие.

580. Выполните возведение в квадрат:

1) $(10a^2 - 7ab^2)^2$;

2) $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2$;

3) $(30m^3n + 0,04n^2)^2$;

4) $(0,5x^4y^5 - 20y^6)^2$;

5) $(1\frac{1}{3}a^2b + 2\frac{1}{4}ab^2)^2$;

6) $(2\frac{1}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x)^2$;

7) $(15m^9 + \frac{5}{6}m^3)^2$;

8) $(3\frac{1}{8}x^8y^{10} + \frac{16}{25}x^2y^6)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для возведения в квадрат выражения $(10a^2 - 7ab^2)^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 10a^2$ и $y = 7ab^2$.
Квадрат первого члена: $(10a^2)^2 = 100a^4$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 10a^2 \cdot 7ab^2 = 140a^3b^2$.
Квадрат второго члена: $(7ab^2)^2 = 49a^2b^4$.
Следовательно, $(10a^2 - 7ab^2)^2 = 100a^4 - 140a^3b^2 + 49a^2b^4$.
Ответ: $100a^4 - 140a^3b^2 + 49a^2b^4$.

2) Для возведения в квадрат выражения $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = 0,8b^3$ и $y = 0,2b^2c^4$.
Квадрат первого члена: $(0,8b^3)^2 = 0,64b^6$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 0,8b^3 \cdot 0,2b^2c^4 = 0,32b^5c^4$.
Квадрат второго члена: $(0,2b^2c^4)^2 = 0,04b^4c^8$.
Следовательно, $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2 = 0,64b^6 + 0,32b^5c^4 + 0,04b^4c^8$.
Ответ: $0,64b^6 + 0,32b^5c^4 + 0,04b^4c^8$.

3) Для возведения в квадрат выражения $(30m^3n + 0,04n^2)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = 30m^3n$ и $y = 0,04n^2$.
Квадрат первого члена: $(30m^3n)^2 = 900m^6n^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 30m^3n \cdot 0,04n^2 = 2,4m^3n^3$.
Квадрат второго члена: $(0,04n^2)^2 = 0,0016n^4$.
Следовательно, $(30m^3n + 0,04n^2)^2 = 900m^6n^2 + 2,4m^3n^3 + 0,0016n^4$.
Ответ: $900m^6n^2 + 2,4m^3n^3 + 0,0016n^4$.

4) Для возведения в квадрат выражения $(0,5x^4y^5 - 20y^6)^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = 0,5x^4y^5$ и $y = 20y^6$.
Квадрат первого члена: $(0,5x^4y^5)^2 = 0,25x^8y^{10}$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 0,5x^4y^5 \cdot 20y^6 = 20x^4y^{11}$.
Квадрат второго члена: $(20y^6)^2 = 400y^{12}$.
Следовательно, $(0,5x^4y^5 - 20y^6)^2 = 0,25x^8y^{10} - 20x^4y^{11} + 400y^{12}$.
Ответ: $0,25x^8y^{10} - 20x^4y^{11} + 400y^{12}$.

5) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{4}{3}a^2b + \frac{9}{4}ab^2)^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = \frac{4}{3}a^2b$ и $y = \frac{9}{4}ab^2$.
Квадрат первого члена: $(\frac{4}{3}a^2b)^2 = \frac{16}{9}a^4b^2$.
Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{4}{3}a^2b \cdot \frac{9}{4}ab^2 = 2 \cdot \frac{36}{12}a^3b^3 = 6a^3b^3$.
Квадрат второго члена: $(\frac{9}{4}ab^2)^2 = \frac{81}{16}a^2b^4$.
Следовательно, $(1\frac{1}{3}a^2b + 2\frac{1}{4}ab^2)^2 = \frac{16}{9}a^4b^2 + 6a^3b^3 + \frac{81}{16}a^2b^4$.
Ответ: $\frac{16}{9}a^4b^2 + 6a^3b^3 + \frac{81}{16}a^2b^4$.

6) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{7}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x)^2$.
Используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = \frac{7}{3}x^3y^2$ и $y = \frac{9}{14}xy^8$.
Квадрат первого члена: $(\frac{7}{3}x^3y^2)^2 = \frac{49}{9}x^6y^4$.
Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{7}{3}x^3y^2 \cdot \frac{9}{14}xy^8 = 2 \cdot \frac{63}{42}x^4y^{10} = 2 \cdot \frac{3}{2}x^4y^{10} = 3x^4y^{10}$.
Квадрат второго члена: $(\frac{9}{14}xy^8)^2 = \frac{81}{196}x^2y^{16}$.
Следовательно, $(2\frac{1}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x)^2 = \frac{49}{9}x^6y^4 - 3x^4y^{10} + \frac{81}{196}x^2y^{16}$.
Ответ: $\frac{49}{9}x^6y^4 - 3x^4y^{10} + \frac{81}{196}x^2y^{16}$.

7) Для возведения в квадрат выражения $(15m^9 + \frac{5}{6}m^3)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = 15m^9$ и $y = \frac{5}{6}m^3$.
Квадрат первого члена: $(15m^9)^2 = 225m^{18}$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 15m^9 \cdot \frac{5}{6}m^3 = \frac{150}{6}m^{12} = 25m^{12}$.
Квадрат второго члена: $(\frac{5}{6}m^3)^2 = \frac{25}{36}m^6$.
Следовательно, $(15m^9 + \frac{5}{6}m^3)^2 = 225m^{18} + 25m^{12} + \frac{25}{36}m^6$.
Ответ: $225m^{18} + 25m^{12} + \frac{25}{36}m^6$.

8) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{8} = \frac{25}{8}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{25}{8}x^8y^{10} + \frac{16}{25}x^2y^6)^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = \frac{25}{8}x^8y^{10}$ и $y = \frac{16}{25}x^2y^6$.
Квадрат первого члена: $(\frac{25}{8}x^8y^{10})^2 = \frac{625}{64}x^{16}y^{20}$.
Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{25}{8}x^8y^{10} \cdot \frac{16}{25}x^2y^6 = 2 \cdot \frac{16}{8}x^{10}y^{16} = 4x^{10}y^{16}$.
Квадрат второго члена: $(\frac{16}{25}x^2y^6)^2 = \frac{256}{625}x^4y^{12}$.
Следовательно, $(3\frac{1}{8}x^8y^{10} + \frac{16}{25}x^2y^6)^2 = \frac{625}{64}x^{16}y^{20} + 4x^{10}y^{16} + \frac{256}{625}x^4y^{12}$.
Ответ: $\frac{625}{64}x^{16}y^{20} + 4x^{10}y^{16} + \frac{256}{625}x^4y^{12}$.