Номер 576, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 576, страница 105.

Условие.

576. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(*+6b)^2 = *+24ab+*;$

2) $(*-*)^2 = 9m^4-42m^2n^8+*.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Исходное тождество: $(* + 6b)^2 = * + 24ab + *$.

Это тождество является формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сравним данное выражение с формулой. Пусть первый неизвестный одночлен в скобках будет $x$, а второй — $y = 6b$. Тогда правая часть тождества должна иметь вид $x^2 + 2xy + y^2$.

Нам известен средний член в правой части: $2xy = 24ab$.

Подставим известное значение $y = 6b$ в это равенство, чтобы найти $x$:

$2 \cdot x \cdot (6b) = 24ab$

$12xb = 24ab$

Разделим обе части уравнения на $12b$:

$x = \frac{24ab}{12b} = 2a$.

Итак, первая звёздочка в скобках — это одночлен $2a$.

Теперь найдём одночлены, стоящие на месте звёздочек в правой части равенства. Первая звёздочка в правой части — это $x^2$, а вторая — $y^2$.

Вычислим $x^2$:

$x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Вычислим $y^2$:

$y^2 = (6b)^2 = 36b^2$.

Теперь подставим все найденные одночлены в исходное выражение:

$(2a + 6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

Ответ: $(2a + 6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

2) Исходное тождество: $(* - *)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + *$.

Это тождество является формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сравним данное выражение с формулой. Пусть неизвестные одночлены в скобках будут $x$ и $y$. Тогда правая часть тождества должна иметь вид $x^2 - 2xy + y^2$.

Из правой части нам известен первый член $x^2 = 9m^4$.

Найдём $x$, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{9m^4} = 3m^2$.

Итак, первая звёздочка в скобках — это одночлен $3m^2$.

Также нам известен средний член в правой части: $-2xy = -42m^2n^8$, или $2xy = 42m^2n^8$.

Подставим найденное значение $x = 3m^2$ в это равенство, чтобы найти $y$:

$2 \cdot (3m^2) \cdot y = 42m^2n^8$

$6m^2y = 42m^2n^8$

Разделим обе части уравнения на $6m^2$:

$y = \frac{42m^2n^8}{6m^2} = 7n^8$.

Итак, вторая звёздочка в скобках — это одночлен $7n^8$.

Последняя звёздочка в правой части — это $y^2$.

Вычислим $y^2$:

$y^2 = (7n^8)^2 = 49n^{16}$.

Теперь подставим все найденные одночлены в исходное выражение:

$(3m^2 - 7n^8)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + 49n^{16}$.

Ответ: $(3m^2 - 7n^8)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + 49n^{16}$.