Номер 571, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 571, страница 104.

Условие.

571. Упростите выражение:

1) $a^2 + (3a - b)^2;$

2) $(4x + 5)^2 - 40x;$

3) $50a^2 - (7a - 1)^2;$

4) $c^2 + 36 - (c - 6)^2;$

5) $(x - 2)^2 + x(x + 10);$

6) $3m(m - 4) - (m + 2)^2;$

7) $(y - 9)^2 + (4 - y)(y + 6);$

8) $(x - 4)(x + 4) - (x - 1)^2;$

9) $(2a - 3b)^2 + (3a + 2b)^2;$

10) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x + 7).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^2 + (3a - b)^2$
Для раскрытия скобки $(3a - b)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$a^2 + (3a - b)^2 = a^2 + ((3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2) = a^2 + (9a^2 - 6ab + b^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 9a^2 - 6ab + b^2 = 10a^2 - 6ab + b^2$.
Ответ: $10a^2 - 6ab + b^2$.

2) $(4x + 5)^2 - 40x$
Раскроем скобку $(4x + 5)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(4x + 5)^2 - 40x = ((4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2) - 40x = (16x^2 + 40x + 25) - 40x$.
Приведем подобные слагаемые:
$16x^2 + 40x + 25 - 40x = 16x^2 + 25$.
Ответ: $16x^2 + 25$.

3) $50a^2 - (7a - 1)^2$
Раскроем скобку $(7a - 1)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$50a^2 - (7a - 1)^2 = 50a^2 - ((7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 1 + 1^2) = 50a^2 - (49a^2 - 14a + 1)$.
Раскроем скобки, изменив знаки, и приведем подобные слагаемые:
$50a^2 - 49a^2 + 14a - 1 = a^2 + 14a - 1$.
Ответ: $a^2 + 14a - 1$.

4) $c^2 + 36 - (c - 6)^2$
Раскроем скобку $(c - 6)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$c^2 + 36 - (c - 6)^2 = c^2 + 36 - (c^2 - 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2) = c^2 + 36 - (c^2 - 12c + 36)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$c^2 + 36 - c^2 + 12c - 36 = 12c$.
Ответ: $12c$.

5) $(x - 2)^2 + x(x + 10)$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (x \cdot x + x \cdot 10) = (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 10x)$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 4x + 4 + x^2 + 10x = 2x^2 + 6x + 4$.
Ответ: $2x^2 + 6x + 4$.

6) $3m(m - 4) - (m + 2)^2$
Раскроем скобки, используя распределительный закон и формулу квадрата суммы:
$(3m \cdot m - 3m \cdot 4) - (m^2 + 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2) = (3m^2 - 12m) - (m^2 + 4m + 4)$.
Раскроем вторые скобки, изменив знаки, и приведем подобные слагаемые:
$3m^2 - 12m - m^2 - 4m - 4 = 2m^2 - 16m - 4$.
Ответ: $2m^2 - 16m - 4$.

7) $(y - 9)^2 + (4 - y)(y + 6)$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности, вторую пару скобок перемножим как многочлены:
$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2) + (4y + 24 - y^2 - 6y) = (y^2 - 18y + 81) + (-y^2 - 2y + 24)$.
Приведем подобные слагаемые:
$y^2 - 18y + 81 - y^2 - 2y + 24 = -20y + 105$.
Ответ: $105 - 20y$.

8) $(x - 4)(x + 4) - (x - 1)^2$
Используем формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадрата разности:
$(x^2 - 4^2) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 16) - (x^2 - 2x + 1)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 16 - x^2 + 2x - 1 = 2x - 17$.
Ответ: $2x - 17$.

9) $(2a - 3b)^2 + (3a + 2b)^2$
Раскроем обе скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2) + ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2) = (4a^2 - 12ab + 9b^2) + (9a^2 + 12ab + 4b^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$4a^2 - 12ab + 9b^2 + 9a^2 + 12ab + 4b^2 = 13a^2 + 13b^2$.
Ответ: $13a^2 + 13b^2$.

10) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x + 7)$
Используем формулы квадрата разности и разности квадратов:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - (x^2 - 7^2) = (x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 49)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 10x + 25 - x^2 + 49 = -10x + 74$.
Ответ: $74 - 10x$.