Номер 578, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 578, страница 105.

Условие.

578. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(-x+1)^2;$

2) $(-m-9)^2;$

3) $(-5a+3b)^2;$

4) $(-4x-8y)^2;$

5) $(-0.7c-10d)^2;$

6) $(-4a^2 + \frac{1}{8}ab)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Также полезно помнить, что $(-A-B)^2 = (-(A+B))^2 = (A+B)^2$ и $(-A+B)^2 = (B-A)^2$.

1)

Преобразуем выражение $(-x + 1)^2$. Его можно представить как $(1 - x)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 1$ и $b = x$.

$(1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$.

Результат, записанный в стандартном виде многочлена: $x^2 - 2x + 1$.

Ответ: $x^2 - 2x + 1$

2)

Преобразуем выражение $(-m - 9)^2$. Вынесем знак минус за скобки: $(-(m + 9))^2$.

Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, получаем: $(-(m + 9))^2 = (m + 9)^2$.

Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = m$ и $b = 9$.

$(m + 9)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 9 + 9^2 = m^2 + 18m + 81$.

Ответ: $m^2 + 18m + 81$

3)

Преобразуем выражение $(-5a + 3b)^2$. Это можно записать как $(3b - 5a)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3b$ и $b = 5a$.

$(3b - 5a)^2 = (3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot (5a) + (5a)^2 = 9b^2 - 30ab + 25a^2$.

Запишем в стандартном виде: $25a^2 - 30ab + 9b^2$.

Ответ: $25a^2 - 30ab + 9b^2$

4)

Преобразуем выражение $(-4x - 8y)^2$. Вынесем минус за скобки: $(-(4x + 8y))^2$.

Это равносильно $(4x + 8y)^2$.

Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 4x$ и $b = 8y$.

$(4x + 8y)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (8y) + (8y)^2 = 16x^2 + 64xy + 64y^2$.

Ответ: $16x^2 + 64xy + 64y^2$

5)

Преобразуем выражение $(-0,7c - 10d)^2$. Вынесем минус за скобки: $(-(0,7c + 10d))^2$.

Это равносильно $(0,7c + 10d)^2$.

Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 0,7c$ и $b = 10d$.

$(0,7c + 10d)^2 = (0,7c)^2 + 2 \cdot (0,7c) \cdot (10d) + (10d)^2 = 0,49c^2 + 14cd + 100d^2$.

Ответ: $0,49c^2 + 14cd + 100d^2$

6)

Преобразуем выражение $(-4a^2 + \frac{1}{8}ab)^2$. Переставим слагаемые: $(\frac{1}{8}ab - 4a^2)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \frac{1}{8}ab$ и $b = 4a^2$.

$(\frac{1}{8}ab - 4a^2)^2 = (\frac{1}{8}ab)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{8}ab) \cdot (4a^2) + (4a^2)^2$.

Вычислим каждый член:

$(\frac{1}{8}ab)^2 = \frac{1}{64}a^2b^2$

$2 \cdot (\frac{1}{8}ab) \cdot (4a^2) = \frac{2 \cdot 4}{8} \cdot a \cdot a^2 \cdot b = \frac{8}{8}a^3b = a^3b$

$(4a^2)^2 = 16a^4$

Собираем многочлен: $\frac{1}{64}a^2b^2 - a^3b + 16a^4$.

Запишем в стандартном виде, упорядочив по убыванию степени переменной $a$: $16a^4 - a^3b + \frac{1}{64}a^2b^2$.

Ответ: $16a^4 - a^3b + \frac{1}{64}a^2b^2$