Номер 577, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 577, страница 105.

Условие.

577. Докажите тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$, можно преобразовать одну из его частей и показать, что она равна другой, или преобразовать обе части и показать, что они равны одному и тому же выражению. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Преобразование обеих частей равенства

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

1. Раскроем скобки в левой части равенства:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

2. Раскроем скобки в правой части равенства:

$(b - a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$

Поскольку умножение и сложение обладают переместительным свойством ($ba = ab$ и $b^2 + a^2 = a^2 + b^2$), мы можем переписать правую часть в следующем виде:

$b^2 - 2ba + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$

3. Сравним результаты. Левая часть равна $a^2 - 2ab + b^2$, и правая часть равна $a^2 - 2ab + b^2$. Так как обе части равенства приводятся к одному и тому же виду, тождество доказано.

Способ 2: Преобразование одной части равенства

Преобразуем правую часть $(b - a)^2$ так, чтобы она стала равна левой части.

1. В выражении $(b - a)$ вынесем за скобки $-1$:

$b - a = -1 \cdot a + b = -(a - b)$

2. Подставим это выражение в правую часть исходного тождества:

$(b - a)^2 = (-(a - b))^2$

3. Воспользуемся свойством степени, согласно которому квадрат произведения равен произведению квадратов множителей, $(xy)^2 = x^2y^2$:

$(-(a - b))^2 = (-1)^2 \cdot (a - b)^2$

4. Так как $(-1)^2 = 1$, получаем:

$1 \cdot (a - b)^2 = (a - b)^2$

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства к виду левой части. Это доказывает, что равенство является тождеством.

Ответ: тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$ доказано.