Номер 582, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 582, страница 105.

Условие.

582. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(0.02p^3k + 20p^2k^4)^2$;

2) $(\frac{1}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2$;

3) $-15(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2$;

4) $7x(x^3 - 2x)^2$;

5) $(5y - 2)^2 (2y + 1)$;

6) $(10p - k)^2 (10p + k)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 0,02p^3k$ и $b = 20p^2k^4$.

$(0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 = (0,02p^3k)^2 + 2 \cdot (0,02p^3k) \cdot (20p^2k^4) + (20p^2k^4)^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$(0,02p^3k)^2 = 0,02^2 \cdot (p^3)^2 \cdot k^2 = 0,0004p^6k^2$

$2 \cdot (0,02p^3k) \cdot (20p^2k^4) = 2 \cdot 0,02 \cdot 20 \cdot p^3 \cdot p^2 \cdot k \cdot k^4 = 0,8p^{3+2}k^{1+4} = 0,8p^5k^5$

$(20p^2k^4)^2 = 20^2 \cdot (p^2)^2 \cdot (k^4)^2 = 400p^4k^8$

Соберем все вместе:

$0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8$

Ответ: $0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8$.

2) Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$. Затем используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \frac{7}{6}mn$ и $b = \frac{4}{21}m^2n^5$.

$(\frac{7}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2 = (\frac{7}{6}mn)^2 - 2 \cdot (\frac{7}{6}mn) \cdot (\frac{4}{21}m^2n^5) + (\frac{4}{21}m^2n^5)^2$

$= \frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{2 \cdot 7 \cdot 4}{6 \cdot 21}m^{1+2}n^{1+5} + \frac{16}{441}m^{2 \cdot 2}n^{5 \cdot 2}$

$= \frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{56}{126}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$

Сократим дробь в среднем члене: $\frac{56}{126} = \frac{56 \div 14}{126 \div 14} = \frac{4}{9}$.

Окончательный вид многочлена:

$\frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$

Ответ: $\frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$.

3) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2 = (\frac{1}{3}a)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{5}b + (\frac{1}{5}b)^2 = \frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2$.

Теперь умножим полученный многочлен на $-15$.

$-15(\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2) = -15 \cdot \frac{1}{9}a^2 - 15 \cdot (-\frac{2}{15}ab) - 15 \cdot (\frac{1}{25}b^2)$

$= -\frac{15}{9}a^2 + \frac{15 \cdot 2}{15}ab - \frac{15}{25}b^2$

Сокращаем дроби:

$= -\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2$.

Ответ: $-\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2$.

4) Сначала возведем в квадрат выражение в скобках по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^3 - 2x)^2 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 2x + (2x)^2 = x^6 - 4x^4 + 4x^2$.

Затем умножим полученный многочлен на $7x$.

$7x(x^6 - 4x^4 + 4x^2) = 7x \cdot x^6 - 7x \cdot 4x^4 + 7x \cdot 4x^2$

$= 7x^{1+6} - 28x^{1+4} + 28x^{1+2} = 7x^7 - 28x^5 + 28x^3$.

Ответ: $7x^7 - 28x^5 + 28x^3$.

5) Сначала возведем в квадрат первую скобку по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(5y - 2)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2^2 = 25y^2 - 20y + 4$.

Теперь умножим полученный многочлен на $(2y+1)$, используя правило умножения многочлена на многочлен.

$(25y^2 - 20y + 4)(2y + 1) = 25y^2 \cdot 2y + 25y^2 \cdot 1 - 20y \cdot 2y - 20y \cdot 1 + 4 \cdot 2y + 4 \cdot 1$

$= 50y^3 + 25y^2 - 40y^2 - 20y + 8y + 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$50y^3 + (25-40)y^2 + (-20+8)y + 4 = 50y^3 - 15y^2 - 12y + 4$.

Ответ: $50y^3 - 15y^2 - 12y + 4$.

6) Используем свойство степеней $a^nb^n=(ab)^n$. В нашем случае $n=2$.

$(10p - k)^2(10p + k)^2 = ((10p - k)(10p + k))^2$.

Выражение во внутренних скобках является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(10p - k)(10p + k) = (10p)^2 - k^2 = 100p^2 - k^2$.

Теперь возведем результат в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(100p^2 - k^2)^2 = (100p^2)^2 - 2 \cdot 100p^2 \cdot k^2 + (k^2)^2$

$= 10000p^4 - 200p^2k^2 + k^4$.

Ответ: $10000p^4 - 200p^2k^2 + k^4$.