Номер 581, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 581, страница 105.

Условие.

581. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $6(1-2c)^2;$

2) $-12\left(x+\frac{1}{3}y\right)^2;$

3) $a(a-6b)^2;$

4) $5b(b^2+7b)^2;$

5) $(a+3)(a-4)^2;$

6) $(2x+4)^2(x-8);$

7) $(a-5)^2(a+5)^2;$

8) $(3x+4y)^2(3x-4y)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для преобразования выражения $6(1 - 2c)^2$ в многочлен, сначала воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(1 - 2c)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2 = 1 - 4c + 4c^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на 6:
$6(1 - 4c + 4c^2) = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 4c + 6 \cdot 4c^2 = 6 - 24c + 24c^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде:
$24c^2 - 24c + 6$.
Ответ: $24c^2 - 24c + 6$.

2) Преобразуем выражение $-12(x + \frac{1}{3}y)^2$. Сначала используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x + \frac{1}{3}y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3}y + (\frac{1}{3}y)^2 = x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на -12:
$-12(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2) = -12x^2 - 12 \cdot \frac{2}{3}xy - 12 \cdot \frac{1}{9}y^2 = -12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2$.
Ответ: $-12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2$.

3) Преобразуем выражение $a(a - 6b)^2$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a - 6b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 6b + (6b)^2 = a^2 - 12ab + 36b^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на $a$:
$a(a^2 - 12ab + 36b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot 12ab + a \cdot 36b^2 = a^3 - 12a^2b + 36ab^2$.
Ответ: $a^3 - 12a^2b + 36ab^2$.

4) Преобразуем выражение $5b(b^2 + 7b)^2$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(b^2 + 7b)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 7b + (7b)^2 = b^4 + 14b^3 + 49b^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на $5b$:
$5b(b^4 + 14b^3 + 49b^2) = 5b \cdot b^4 + 5b \cdot 14b^3 + 5b \cdot 49b^2 = 5b^5 + 70b^4 + 245b^3$.
Ответ: $5b^5 + 70b^4 + 245b^3$.

5) Преобразуем выражение $(a + 3)(a - 4)^2$. Сначала раскроем квадрат разности:
$(a - 4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$.
Теперь умножим многочлен $(a + 3)$ на многочлен $(a^2 - 8a + 16)$:
$(a + 3)(a^2 - 8a + 16) = a(a^2 - 8a + 16) + 3(a^2 - 8a + 16) = a^3 - 8a^2 + 16a + 3a^2 - 24a + 48$.
Приведем подобные члены:
$a^3 + (-8a^2 + 3a^2) + (16a - 24a) + 48 = a^3 - 5a^2 - 8a + 48$.
Ответ: $a^3 - 5a^2 - 8a + 48$.

6) Преобразуем выражение $(2x + 4)^2(x - 8)$. Сначала раскроем квадрат суммы:
$(2x + 4)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 4 + 4^2 = 4x^2 + 16x + 16$.
Теперь умножим полученный многочлен на $(x - 8)$:
$(4x^2 + 16x + 16)(x - 8) = x(4x^2 + 16x + 16) - 8(4x^2 + 16x + 16) = 4x^3 + 16x^2 + 16x - 32x^2 - 128x - 128$.
Приведем подобные члены:
$4x^3 + (16x^2 - 32x^2) + (16x - 128x) - 128 = 4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$.
Ответ: $4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$.

7) Преобразуем выражение $(a - 5)^2(a + 5)^2$. Воспользуемся свойством степеней $(xy)^n = x^n y^n$, чтобы записать выражение в виде $((a - 5)(a + 5))^2$.
Внутреннее выражение является разностью квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:
$(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625$.
Ответ: $a^4 - 50a^2 + 625$.

8) Преобразуем выражение $(3x + 4y)^2(3x - 4y)^2$. Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся свойством степеней: $((3x + 4y)(3x - 4y))^2$.
Внутреннее выражение является разностью квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:
$(3x + 4y)(3x - 4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(9x^2 - 16y^2)^2 = (9x^2)^2 - 2 \cdot 9x^2 \cdot 16y^2 + (16y^2)^2 = 81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$.
Ответ: $81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$.