Номер 586, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 586, страница 106.

Условие.

586. Решите уравнение:

1) $(x - 12)(x + 12) = 2(x - 6)^2 - x^2$;

2) $(3x - 1)^2 + (4x + 2)^2 = (5x - 1)(5x + 1)$;

3) $5(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 9(x + 3)(x - 3) = 22.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - 12)(x + 12) = 2(x - 6)^2 - x^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x^2 - 12^2 = x^2 - 144$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - x^2 = 2(x^2 - 12x + 36) - x^2 = 2x^2 - 24x + 72 - x^2 = x^2 - 24x + 72$

Теперь приравняем полученные выражения:

$x^2 - 144 = x^2 - 24x + 72$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$x^2 - x^2 + 24x = 72 + 144$

$24x = 216$

Найдем $x$:

$x = \frac{216}{24}$

$x = 9$

Ответ: $9$

2) $(3x - 1)^2 + (4x + 2)^2 = (5x - 1)(5x + 1)$

Раскроем скобки в левой части, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$( (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 ) + ( (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 2 + 2^2 ) = (9x^2 - 6x + 1) + (16x^2 + 16x + 4)$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x^2 - 6x + 1 + 16x^2 + 16x + 4 = 25x^2 + 10x + 5$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу разности квадратов:

$(5x - 1)(5x + 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$

Приравняем левую и правую части:

$25x^2 + 10x + 5 = 25x^2 - 1$

Сократим $25x^2$ в обеих частях и решим линейное уравнение:

$10x + 5 = -1$

$10x = -1 - 5$

$10x = -6$

$x = \frac{-6}{10}$

$x = -0.6$

Ответ: $-0.6$

3) $5(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 9(x + 3)(x - 3) = 22$

Последовательно раскроем все скобки, применяя формулы сокращенного умножения:

$5(x^2 + 4x + 4) + (4x^2 - 4x + 1) - 9(x^2 - 9) = 22$

Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты перед ними:

$5x^2 + 20x + 20 + 4x^2 - 4x + 1 - 9x^2 + 81 = 22$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(5x^2 + 4x^2 - 9x^2) + (20x - 4x) + (20 + 1 + 81) = 22$

$0 \cdot x^2 + 16x + 102 = 22$

$16x + 102 = 22$

Перенесем свободный член в правую часть:

$16x = 22 - 102$

$16x = -80$

Найдем $x$:

$x = \frac{-80}{16}$

$x = -5$

Ответ: $-5$