Номер 591, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 591, страница 106.

Условие.

591. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть первое из искомых последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число будет $n+1$, третье — $n+2$, и четвёртое — $n+3$.

По условию задачи, сумма квадратов второго и четвёртого чисел на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего. Составим математическое уравнение, отражающее это условие:

$(n+1)^2 + (n+3)^2 = n^2 + (n+2)^2 + 82$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2) = n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2) + 82$

$(n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 6n + 9) = n^2 + (n^2 + 4n + 4) + 82$

Приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 86$

Теперь перенесём все слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Обратите внимание, что $2n^2$ взаимно уничтожается.

$8n - 4n = 86 - 10$

$4n = 76$

Найдём значение $n$:

$n = \frac{76}{4}$

$n = 19$

Мы нашли первое натуральное число. Теперь найдём остальные три:

• Первое число: $n = 19$
• Второе число: $n+1 = 19+1 = 20$
• Третье число: $n+2 = 19+2 = 21$
• Четвёртое число: $n+3 = 19+3 = 22$

Таким образом, искомые числа — 19, 20, 21, 22.

Проверим полученный результат:

Сумма квадратов второго и четвёртого чисел: $20^2 + 22^2 = 400 + 484 = 884$.
Сумма квадратов первого и третьего чисел: $19^2 + 21^2 = 361 + 441 = 802$.
Разница между этими суммами: $884 - 802 = 82$.
Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 19, 20, 21, 22.