Номер 595, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 595, страница 106.

Условие.

595. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной $x$:

1) $(x - 3)^2 + (x + 3)^2 - 2(x - 6)(x + 6);$

2) $(4x^3 + 5)^2 + (2x^3 - 1)^2 - 4(5x^3 + 4)(x^3 + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы доказать, что значение выражения $(x - 3)^2 + (x + 3)^2 - 2(x - 6)(x + 6)$ не зависит от $x$, нужно упростить его. Если в результате упрощения переменная $x$ исчезнет, то утверждение будет доказано.

Для упрощения используем формулы сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Применим эти формулы к каждому слагаемому выражения:

$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x - 6)(x + 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9) - 2(x^2 - 36)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 6x + 9 - 2x^2 + 72$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) + (-6x + 6x) + (9 + 9 + 72)$

$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 90 = 90$

В результате упрощения мы получили число 90, которое не содержит переменную $x$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 90.

2)

Упростим выражение $(4x^3 + 5)^2 + (2x^3 - 1)^2 - 4(5x^3 + 4)(x^3 + 1)$.

Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности, а также правило умножения многочленов.

Раскроем каждую часть выражения по отдельности:

$(4x^3 + 5)^2 = (4x^3)^2 + 2 \cdot 4x^3 \cdot 5 + 5^2 = 16x^6 + 40x^3 + 25$

$(2x^3 - 1)^2 = (2x^3)^2 - 2 \cdot 2x^3 \cdot 1 + 1^2 = 4x^6 - 4x^3 + 1$

$(5x^3 + 4)(x^3 + 1) = 5x^3 \cdot x^3 + 5x^3 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 + 4 \cdot 1 = 5x^6 + 5x^3 + 4x^3 + 4 = 5x^6 + 9x^3 + 4$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(16x^6 + 40x^3 + 25) + (4x^6 - 4x^3 + 1) - 4(5x^6 + 9x^3 + 4)$

Раскроем оставшиеся скобки:

$16x^6 + 40x^3 + 25 + 4x^6 - 4x^3 + 1 - 20x^6 - 36x^3 - 16$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16x^6 + 4x^6 - 20x^6) + (40x^3 - 4x^3 - 36x^3) + (25 + 1 - 16)$

$(20x^6 - 20x^6) + (36x^3 - 36x^3) + (26 - 16)$

$0 + 0 + 10 = 10$

В результате упрощения мы получили число 10. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, значение исходного выражения не зависит от значения $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 10.