Номер 601, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 601, страница 107.

Условие.

601. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы $(a+b)^2$ и $(a-b)^2$ двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.

Рис. 5

Рис. 6

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рис. 5

На рисунке 5 изображен квадрат со стороной $(a+b)$. Его площадь $S$ равна $(a+b)^2$. Этот квадрат состоит из четырех частей:

• Квадрата со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$.
• Квадрата со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.
• Двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $ab$.

Площадь всего квадрата равна сумме площадей его частей:
$S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.
Приравнивая два выражения для площади, получаем формулу квадрата суммы:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a+b)$ можно представить как $(a+b)^2$. С другой стороны, она равна сумме площадей его частей: квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрата со стороной $b$ (площадь $b^2$) и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). Таким образом, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Рис. 6

На рисунке 6 изображен квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$. Внутри этого квадрата находится меньший квадрат со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $(a-b)^2$.
Площадь малого квадрата можно найти, вычтя из площади большого квадрата площадь L-образной фигуры (гномона), которая его окружает.
$(a-b)^2 = a^2 - S_{гномона}$.
Площадь гномона можно найти как разность площадей большого квадрата со стороной $a$ и малого квадрата со стороной $(a-b)$. Другой способ - разбить гномон на части. Разобьем его на два прямоугольника:

• Вертикальный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь равна $ab$.
• Горизонтальный прямоугольник со сторонами $(a-b)$ и $b$. Его площадь равна $(a-b)b = ab - b^2$.

Сложив их площади, получим площадь гномона:
$S_{гномона} = ab + (ab - b^2) = 2ab - b^2$.
Теперь подставим это выражение в формулу для площади малого квадрата:
$(a-b)^2 = a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна площади большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$) минус площадь L-образной фигуры вокруг него. Площадь этой фигуры можно найти, сложив площади двух прямоугольников: $ab$ и $(a-b)b$. В итоге, $(a-b)^2 = a^2 - (ab + (a-b)b) = a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$.