Номер 599, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 599, страница 107.

Условие.

599. Выведите формулу куба разности двух выражений:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(1-x)^3$;

2) $(x-5y)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы вывести формулу куба разности двух выражений, представим $(a-b)^3$ в виде произведения $(a-b)(a-b)^2$. Воспользуемся известной формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Теперь перемножим многочлены: $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$. После приведения подобных слагаемых $(-2a^2b - a^2b = -3a^2b)$ и $(ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2)$ получаем искомую формулу: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Теперь применим эту формулу для преобразования выражений.

1) Для выражения $(1-x)^3$ применим формулу куба разности, где $a=1$ и $b=x$. Подставим эти значения в формулу: $(1-x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3$. Упростив, получаем многочлен: $1 - 3x + 3x^2 - x^3$. Ответ: $1 - 3x + 3x^2 - x^3$.

2) Для выражения $(x-5y)^3$ применим формулу, где $a=x$ и $b=5y$. Подставим эти значения в формулу: $(x-5y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (5y) + 3 \cdot x \cdot (5y)^2 - (5y)^3$. Выполним вычисления и упростим каждый член: $x^3 - (3 \cdot 5)x^2y + 3x(25y^2) - 125y^3 = x^3 - 15x^2y + 75xy^2 - 125y^3$. Ответ: $x^3 - 15x^2y + 75xy^2 - 125y^3$.