Номер 603, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 603, страница 107.

Условие.

603. Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4, необходимо рассмотреть два случая: когда натуральное число является четным и когда оно является нечетным. Любое натуральное число принадлежит к одной из этих двух категорий.

1. Случай, когда натуральное число $n$ – четное.

Если число $n$ четное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ – некоторое натуральное число. Возведем это число в квадрат:

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение $4k^2$ содержит множитель 4, следовательно, оно делится на 4 без остатка. Таким образом, остаток от деления в этом случае равен 0.

2. Случай, когда натуральное число $n$ – нечетное.

Если число $n$ нечетное, то его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ – некоторое целое неотрицательное число. Возведем это число в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

В выражении $4k^2 + 4k + 1$ можно вынести общий множитель 4 за скобки в первых двух слагаемых:

$n^2 = 4(k^2 + k) + 1$

Это выражение показывает, что при делении квадрата нечетного числа на 4 частное будет равно $(k^2 + k)$, а остаток будет равен 1.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты. Квадрат четного числа дает остаток 0 при делении на 4, а квадрат нечетного числа дает остаток 1. Других остатков быть не может.

Ответ: 0 или 1.