Номер 609, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 609, страница 108.

Условие.

609. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a + b + c)(a + b - c)$

2) $(a + b + c)(a - b - c)$

3) $(a + b + c + d)(a + b - c - d)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(a + b + c)(a + b - c)$

Для решения этого примера сгруппируем слагаемые и применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Представим выражение в виде: $((a+b)+c)((a+b)-c)$.

Здесь $x = (a+b)$, а $y = c$. Применяем формулу:

$((a+b)+c)((a+b)-c) = (a+b)^2 - c^2$

Теперь раскроем скобку $(a+b)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

2) $(a + b + c)(a - b - c)$

Сгруппируем слагаемые, чтобы снова применить формулу разности квадратов. Вынесем знак минус за скобки во втором множителе: $(a - (b+c))$.

Тогда исходное выражение примет вид: $(a + (b+c))(a - (b+c))$.

Здесь $x = a$, а $y = (b+c)$. Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a + (b+c))(a - (b+c)) = a^2 - (b+c)^2$

Раскроем скобку $(b+c)^2$ по формуле квадрата суммы:

$a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - 2bc - c^2$

Ответ: $a^2 - b^2 - 2bc - c^2$

3) $(a + b + c + d)(a + b - c - d)$

Сгруппируем слагаемые для применения формулы разности квадратов. Выражение можно переписать так:

$((a+b) + (c+d))((a+b) - (c+d))$

Здесь $x = (a+b)$, а $y = (c+d)$. Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$((a+b) + (c+d))((a+b) - (c+d)) = (a+b)^2 - (c+d)^2$

Теперь раскроем каждую из скобок по формуле квадрата суммы:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим полученные многочлены в наше выражение:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2) = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$