Номер 611, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 611, страница 108.

Условие.

611. При каком значении $a$ уравнение $(6x - a)^2 + (8x - 3)^2 = (10x - 3)^2$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи раскроем скобки в данном уравнении, используя формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Исходное уравнение:

$(6x - a)^2 + (8x - 3)^2 = (10x - 3)^2$

Раскрываем каждую скобку:

$( (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot a + a^2 ) + ( (8x)^2 - 2 \cdot 8x \cdot 3 + 3^2 ) = ( (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 3 + 3^2 )$

$(36x^2 - 12ax + a^2) + (64x^2 - 48x + 9) = 100x^2 - 60x + 9$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(36x^2 + 64x^2) + (-12ax - 48x) + (a^2 + 9) = 100x^2 - 60x + 9$

$100x^2 - (12a + 48)x + a^2 + 9 = 100x^2 - 60x + 9$

Теперь упростим уравнение. Можно заметить, что слагаемые $100x^2$ и $9$ присутствуют в обеих частях уравнения, поэтому их можно сократить:

$-(12a + 48)x + a^2 = -60x$

Перенесем все члены, содержащие $x$, в одну сторону, а остальные — в другую:

$60x - (12a + 48)x = -a^2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$(60 - (12a + 48))x = -a^2$

$(60 - 12a - 48)x = -a^2$

$(12 - 12a)x = -a^2$

Мы получили линейное уравнение вида $kx = b$, где $k = 12 - 12a$ и $b = -a^2$.

Линейное уравнение не имеет корней в том и только в том случае, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член (правая часть) не равен нулю. То есть, должны выполняться условия:

$k = 0$ и $b \neq 0$.

Найдем значение $a$, при котором $k=0$:

$12 - 12a = 0$

$12 = 12a$

$a = 1$

Теперь проверим, выполняется ли условие $b \neq 0$ при $a=1$:

$b = -a^2 = -(1)^2 = -1$

Поскольку $b = -1$, условие $b \neq 0$ выполняется. Таким образом, при $a=1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -1$, которое не имеет решений.

Ответ: 1.