Номер 613, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 613, страница 108.

Условие.

613. Докажите тождество:

$(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2.$

Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VI в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях $n$ значения выражений $2n + 1$; $2n^2 + 2n$; $2n^2 + 2n + 1$ являются длинами сторон прямоугольного треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части и покажем, что они равны. Удобнее всего это сделать, показав, что разность левой и правой частей равна нулю.

Рассмотрим разность:

$(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 - (2n^2 + 2n + 1)^2$

Чтобы упростить выражение, можно заметить, что некоторые его части повторяются. Давайте сгруппируем последние два слагаемых, которые представляют собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2n^2 + 2n$ и $b = 2n^2 + 2n + 1$.

$(2n + 1)^2 + ((2n^2 + 2n) - (2n^2 + 2n + 1))((2n^2 + 2n) + (2n^2 + 2n + 1))$

Упростим выражения в скобках:

$(2n + 1)^2 + (-1)(4n^2 + 4n + 1)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(2n + 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$

Подставим полученное выражение обратно:

$(4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 + 4n + 1)$

Выполним вычитание:

$4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 - 4n - 1 = 0$

Так как разность левой и правой частей исходного равенства равна нулю, это означает, что левая и правая части тождественно равны.

Следовательно, тождество $(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2$ доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как разность его левой и правой частей равна нулю.