Номер 608, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 608, страница 108.

Условие.

608. Остаток при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6. Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — данное натуральное число. По условию, остаток от деления числа $n$ на 11 равен 6. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:

$n = 11k + 6$

где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Нам необходимо найти остаток от деления квадрата этого числа, $n^2$, на 11.

Возведем выражение для $n$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (11k + 6)^2 = (11k)^2 + 2 \cdot 11k \cdot 6 + 6^2 = 121k^2 + 132k + 36$

Остаток от деления суммы на некоторое число равен остатку от деления на это число суммы остатков слагаемых. В нашем выражении слагаемые $121k^2$ и $132k$ делятся на 11 без остатка, так как их коэффициенты (121 и 132) кратны 11 ($121 = 11 \cdot 11$, $132 = 11 \cdot 12$).

Следовательно, остаток от деления всего выражения $n^2$ на 11 равен остатку от деления последнего слагаемого, 36, на 11.

Найдем остаток от деления 36 на 11:

$36 = 11 \cdot 3 + 3$

Остаток от этого деления равен 3.

Таким образом, остаток при делении на 11 квадрата исходного числа равен 3.

Ответ: 3