Номер 602, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 602, страница 107.

Условие.

602. Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — произвольное нечётное натуральное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$).

Найдём квадрат этого числа:
$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Вынесем общий множитель $4k$ за скобки в первых двух слагаемых:
$n^2 = 4k(k + 1) + 1$.

Рассмотрим выражение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел ($k$ или $k+1$) обязательно является чётным, а значит, их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.
Следовательно, мы можем записать $k(k + 1) = 2m$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число.

Подставим это в наше выражение для $n^2$:
$n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$.

Полученная формула $n^2 = 8m + 1$ показывает, что квадрат любого нечётного натурального числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Проверим на примерах:
$1^2 = 1 = 8 \cdot 0 + 1$ (остаток 1)
$3^2 = 9 = 8 \cdot 1 + 1$ (остаток 1)
$5^2 = 25 = 8 \cdot 3 + 1$ (остаток 1)
$7^2 = 49 = 8 \cdot 6 + 1$ (остаток 1)

Ответ: 1