Номер 596, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 596, страница 106.

Условие.

596. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной x:

1) $(6x - 8)^2 + (8x + 6)^2 - (10x - 1)(10x + 1);$

2) $2(4x - y)(8x + 5y) - (8x - 5y)^2 - 4y(26x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(6x - 8)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 8 + 8^2 = 36x^2 - 96x + 64$.

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(8x + 6)^2 = (8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot 6 + 6^2 = 64x^2 + 96x + 36$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(10x - 1)(10x + 1) = (10x)^2 - 1^2 = 100x^2 - 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и упростим:

$(36x^2 - 96x + 64) + (64x^2 + 96x + 36) - (100x^2 - 1) = 36x^2 - 96x + 64 + 64x^2 + 96x + 36 - 100x^2 + 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 + 64x^2 - 100x^2) + (-96x + 96x) + (64 + 36 + 1) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 101 = 101$.

Полученное значение 101 является константой и не содержит переменную $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 101.

2) Упростим данное выражение, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые, чтобы доказать, что оно не зависит от $x$.

Раскроем произведение скобок в первом члене:

$2(4x - y)(8x + 5y) = 2(32x^2 + 20xy - 8xy - 5y^2) = 2(32x^2 + 12xy - 5y^2) = 64x^2 + 24xy - 10y^2$.

Раскроем квадрат разности во втором члене:

$-(8x - 5y)^2 = -((8x)^2 - 2 \cdot 8x \cdot 5y + (5y)^2) = -(64x^2 - 80xy + 25y^2) = -64x^2 + 80xy - 25y^2$.

Раскроем скобки в третьем члене:

$-4y(26x + 1) = -4y \cdot 26x - 4y \cdot 1 = -104xy - 4y$.

Теперь объединим все части и приведем подобные слагаемые:

$64x^2 + 24xy - 10y^2 - 64x^2 + 80xy - 25y^2 - 104xy - 4y$.

Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:

$(64x^2 - 64x^2) + (24xy + 80xy - 104xy) + (-10y^2 - 25y^2) - 4y = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot xy - 35y^2 - 4y = -35y^2 - 4y$.

В итоговом выражении $-35y^2 - 4y$ отсутствует переменная $x$. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от $x$.

Ответ: $-35y^2 - 4y$.