Номер 590, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 590, страница 106.

Условие.

590. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа равны $n$, $n+1$ и $n+2$.

По условию задачи, удвоенный квадрат большего из них (то есть $2(n+2)^2$) на 79 больше суммы квадратов двух других чисел (то есть $n^2 + (n+1)^2$). Составим и решим уравнение:

$2(n+2)^2 = n^2 + (n+1)^2 + 79$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$2(n^2 + 4n + 4) = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + 79$

Упростим выражение:

$2n^2 + 8n + 8 = 2n^2 + 2n + 80$

Вычтем $2n^2$ из обеих частей уравнения:

$8n + 8 = 2n + 80$

Перенесем все слагаемые с $n$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$8n - 2n = 80 - 8$

$6n = 72$

$n = \frac{72}{6}$

$n = 12$

Таким образом, первое, наименьшее, число равно 12. Два других числа: $12+1=13$ и $12+2=14$.

Проверка: удвоенный квадрат большего числа равен $2 \cdot 14^2 = 2 \cdot 196 = 392$. Сумма квадратов двух других чисел равна $12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$. Разница составляет $392 - 313 = 79$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 12, 13, 14.