Номер 594, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 594, страница 106.

Условие.

594. Докажите тождество:

1) $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab;$

2) $(a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$ необходимо показать, что левая и правая части равенства равны. Преобразуем правую часть, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в выражении $(a - b)^2$:

$(a - b)^2 + 2ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab$

Теперь приведем подобные слагаемые, сократив $-2ab$ и $2ab$:

$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$

В результате преобразования правая часть стала равна левой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)$ преобразуем обе части равенства и сравним результаты.

Сначала преобразуем левую часть, используя формулы квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + ((ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2)$

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2b^2 + 2ab + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 + 2ab + 1 = a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1$

Теперь преобразуем правую часть, выполнив умножение многочленов:

$(a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2 \cdot b^2 + a^2 \cdot 1 + 1 \cdot b^2 + 1 \cdot 1 = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$

Мы видим, что преобразованная левая часть ($a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1$) и преобразованная правая часть ($a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$) равны друг другу. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.