Номер 583, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 583, страница 105.

Условие.

583. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(a+3)^2 - (a-9)(a+9)$, если $a=-2,5$;

2) $(5x-8)^2 - (4x-3)^2 + 26x$, если $x=--\frac{1}{3}$;

3) $(3y^2+4)^2 + (3y^2-4)^2 - 2(1-3y^2)(1+3y^2)$, если $y=\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Упростим выражение $(a + 3)^2 - (a - 9)(a + 9)$ и найдем его значение при $a = -2,5$.

Для упрощения используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Раскроем скобки в выражении. Сначала первое слагаемое:

$(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$

Теперь второе слагаемое:

$(a - 9)(a + 9) = a^2 - 9^2 = a^2 - 81$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(a^2 + 6a + 9) - (a^2 - 81) = a^2 + 6a + 9 - a^2 + 81$

Приведем подобные члены:

$(a^2 - a^2) + 6a + (9 + 81) = 6a + 90$

Теперь подставим значение $a = -2,5$ в упрощенное выражение:

$6a + 90 = 6 \cdot (-2,5) + 90 = -15 + 90 = 75$

Ответ: 75.

2) Упростим выражение $(5x - 8)^2 - (4x - 3)^2 + 26x$ и найдем его значение при $x = -\frac{1}{3}$.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Раскроем первые два слагаемых:

$(5x - 8)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 8 + 8^2 = 25x^2 - 80x + 64$

$(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$

Подставим в исходное выражение:

$(25x^2 - 80x + 64) - (16x^2 - 24x + 9) + 26x = 25x^2 - 80x + 64 - 16x^2 + 24x - 9 + 26x$

Приведем подобные члены:

$(25x^2 - 16x^2) + (-80x + 24x + 26x) + (64 - 9) = 9x^2 - 30x + 55$

Теперь подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ в упрощенное выражение:

$9x^2 - 30x + 55 = 9 \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 30 \left(-\frac{1}{3}\right) + 55 = 9 \cdot \frac{1}{9} + \frac{30}{3} + 55 = 1 + 10 + 55 = 66$

Ответ: 66.

3) Упростим выражение $(3y^2 + 4)^2 + (3y^2 - 4)^2 - 2(1 - 3y^2)(1 + 3y^2)$ и найдем его значение при $y = \frac{1}{2}$.

Используем формулы: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Упростим каждую часть выражения по отдельности:

$(3y^2 + 4)^2 = (3y^2)^2 + 2 \cdot 3y^2 \cdot 4 + 4^2 = 9y^4 + 24y^2 + 16$

$(3y^2 - 4)^2 = (3y^2)^2 - 2 \cdot 3y^2 \cdot 4 + 4^2 = 9y^4 - 24y^2 + 16$

$-2(1 - 3y^2)(1 + 3y^2) = -2(1^2 - (3y^2)^2) = -2(1 - 9y^4) = -2 + 18y^4$

Теперь сложим все упрощенные части:

$(9y^4 + 24y^2 + 16) + (9y^4 - 24y^2 + 16) + (-2 + 18y^4)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$9y^4 + 24y^2 + 16 + 9y^4 - 24y^2 + 16 - 2 + 18y^4 = (9y^4 + 9y^4 + 18y^4) + (24y^2 - 24y^2) + (16 + 16 - 2) = 36y^4 + 30$

Теперь подставим значение $y = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$36y^4 + 30 = 36 \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 30 = 36 \cdot \frac{1}{16} + 30 = \frac{36}{16} + 30 = \frac{9}{4} + 30 = 2\frac{1}{4} + 30 = 32\frac{1}{4}$

Ответ: $32\frac{1}{4}$.