Номер 604, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 604, страница 107.

Условие.

604. Докажите, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть даны два последовательных целых числа. Обозначим их как $n$ и $n + 1$, где $n$ — любое целое число.

Сумма квадратов этих чисел равна $n^2 + (n + 1)^2$.

Удвоенное произведение этих чисел равно $2 \cdot n \cdot (n + 1)$.

Составим выражение для разности суммы квадратов и удвоенного произведения, как указано в условии задачи:

$(n^2 + (n + 1)^2) - 2n(n + 1)$

Переставим слагаемые в этом выражении для наглядности:

$(n + 1)^2 - 2n(n + 1) + n^2$

Полученное выражение является полным квадратом разности, который соответствует формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = n + 1$ и $b = n$.

Применим эту формулу для упрощения нашего выражения:

$((n + 1) - n)^2$

Выполним вычитание в скобках:

$(n + 1 - n)^2 = (1)^2 = 1$

В результате упрощения мы получили число 1. Так как это значение является константой и не зависит от переменной $n$, то разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения действительно не зависит от выбора этих чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения всегда равно 1, следовательно, оно не зависит от выбора чисел.