Номер 610, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 610, страница 108.

Условие.

610. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a - b - c)(a + b - c);$

2) $(a - b + c + d)(a - b - c - d).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы представить выражение $(a - b - c)(a + b - c)$ в виде многочлена, сгруппируем слагаемые в скобках таким образом, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Переставим слагаемые в скобках, чтобы выделить общую часть:

$(a - c - b)(a - c + b)$

Теперь выражение можно записать в виде:

$((a - c) - b)((a - c) + b)$

В данном случае $x = (a - c)$ и $y = b$. Применим формулу разности квадратов:

$((a - c) - b)((a - c) + b) = (a - c)^2 - b^2$

Далее раскроем скобку $(a - c)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$

Подставим полученный результат в наше выражение:

$a^2 - 2ac + c^2 - b^2$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив сначала квадраты переменных:

$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

Ответ: $a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

2)

Рассмотрим выражение $(a - b + c + d)(a - b - c - d)$. Здесь также применим метод группировки для использования формулы разности квадратов.

Сгруппируем слагаемые в каждой скобке следующим образом:

Первая скобка: $(a - b) + (c + d)$

Вторая скобка: $(a - b) - (c + d)$ (обратите внимание, что $-(c+d) = -c-d$)

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d))$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = (a - b)$ и $y = (c + d)$.

Применяем формулу:

$((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d)) = (a - b)^2 - (c + d)^2$

Теперь раскроем каждую из скобок, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим полученные многочлены в наше выражение:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знак каждого слагаемого внутри них на противоположный:

$a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$