Номер 614, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 614, страница 108.

Условие.

614. (Тождество Ж.Л. Лагранжа¹.) Докажите тождество:

$(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2 = (an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и убедимся, что они равны.

Преобразование левой части (ЛЧ):

$ЛЧ = (a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2$

Раскроем скобки. Сначала выполним умножение двух многочленов:

$(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2$

Затем возведем в квадрат второе слагаемое, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых:

$(am + bn + ck)^2 = (am)^2 + (bn)^2 + (ck)^2 + 2(am)(bn) + 2(am)(ck) + 2(bn)(ck)$

$= a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk$

Теперь выполним вычитание из первого результата второго:

$ЛЧ = (a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2) - (a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk)$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых (слагаемые $a^2m^2$, $b^2n^2$, $c^2k^2$ сокращаются) получаем:

$ЛЧ = a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk$

Преобразование правой части (ПЧ):

$ПЧ = (an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2$

Раскроем каждый квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(an - bm)^2 = a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2$

$(ak - cm)^2 = a^2k^2 - 2acmk + c^2m^2$

$(bk - cn)^2 = b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2$

Сложим полученные выражения:

$ПЧ = (a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2) + (a^2k^2 - 2acmk + c^2m^2) + (b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$ПЧ = a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2acmk - 2bcnk$

Заключение:

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они в точности совпадают:

$ЛЧ = ПЧ$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.