Номер 607, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 607, страница 108.

Условие.

607. Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5. Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — некоторое натуральное число.

По условию, остаток при делении числа $n$ на 9 равен 5. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:
$n = 9k + 5$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (частное).

Теперь найдем квадрат этого числа, $n^2$:
$n^2 = (9k + 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 5 + 5^2$
$n^2 = 81k^2 + 90k + 25$

Нам нужно найти остаток от деления $n^2$ на 9. Проанализируем полученное выражение $81k^2 + 90k + 25$. Первое слагаемое, $81k^2$, делится на 9 без остатка, так как $81$ делится на 9 ($81k^2 = 9 \cdot 9k^2$). Второе слагаемое, $90k$, также делится на 9 без остатка, так как $90$ делится на 9 ($90k = 9 \cdot 10k$).

Следовательно, сумма первых двух слагаемых, $81k^2 + 90k$, делится на 9. Мы можем вынести 9 за скобки:
$n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k) + 25$

Из этого выражения видно, что остаток от деления $n^2$ на 9 будет таким же, как и остаток от деления числа 25 на 9.

Найдем остаток от деления 25 на 9:
$25 = 2 \cdot 9 + 7$

Остаток равен 7.

Ответ: 7