Номер 605, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 605, страница 107.

Условие.

605. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — натуральное число, о котором говорится в условии задачи.

То, что при делении числа $n$ на 16 остаток равен 4, можно записать в виде следующего равенства:
$n = 16k + 4$,
где $k$ — это частное от деления, являющееся некоторым целым неотрицательным числом ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Теперь необходимо найти квадрат этого числа, то есть $n^2$. Для этого возведем в квадрат правую часть равенства:
$n^2 = (16k + 4)^2$

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 = (16k)^2 + 2 \cdot (16k) \cdot 4 + 4^2$
$n^2 = 256k^2 + 128k + 16$

Чтобы доказать, что $n^2$ делится нацело на 16, нужно показать, что каждое слагаемое в полученной сумме делится на 16. Для этого вынесем общий множитель 16 за скобки:
$n^2 = 16 \cdot (16k^2) + 16 \cdot (8k) + 16 \cdot 1$
$n^2 = 16 \cdot (16k^2 + 8k + 1)$

Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $(16k^2 + 8k + 1)$ также является целым числом. Таким образом, мы представили $n^2$ в виде произведения числа 16 и некоторого целого числа, что по определению означает, что $n^2$ делится на 16 без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.