Номер 574, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 574, страница 104.

Условие.

574. Решите уравнение:

1) $(x + 9)^2 - x(x + 8) = 1;$

2) $(x - 11)^2 = (x - 7)(x - 9);$

3) $(x - 4)(x + 4) - (x + 6)^2 = -16;$

4) $(1 - 3x)^2 - x(9x - 2) = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x + 9)^2 - x(x + 8) = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределительное свойство умножения.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) - (x^2 + 8x) = 1$

$x^2 + 18x + 81 - x^2 - 8x = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (18x - 8x) + 81 = 1$

$10x + 81 = 1$

Перенесем 81 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$10x = 1 - 81$

$10x = -80$

Разделим обе части на 10:

$x = \frac{-80}{10}$

$x = -8$

Ответ: -8.

2) $(x - 11)^2 = (x - 7)(x - 9)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой — правило умножения многочленов.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2 = x^2 - 9x - 7x + 63$

$x^2 - 22x + 121 = x^2 - 16x + 63$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$x^2 - x^2 - 22x + 16x = 63 - 121$

Приведем подобные слагаемые:

$-6x = -58$

Разделим обе части на -6:

$x = \frac{-58}{-6}$

$x = \frac{29}{3}$

$x = 9\frac{2}{3}$

Ответ: $9\frac{2}{3}$.

3) $(x - 4)(x + 4) - (x + 6)^2 = -16$

Раскроем скобки в левой части. Для первого выражения используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, для второго — формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x^2 - 4^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) = -16$

$(x^2 - 16) - (x^2 + 12x + 36) = -16$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$x^2 - 16 - x^2 - 12x - 36 = -16$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 12x + (-16 - 36) = -16$

$-12x - 52 = -16$

Перенесем -52 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-12x = -16 + 52$

$-12x = 36$

Разделим обе части на -12:

$x = \frac{36}{-12}$

$x = -3$

Ответ: -3.

4) $(1 - 3x)^2 - x(9x - 2) = 5$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и распределительное свойство умножения.

$(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2) - (9x^2 - 2x) = 5$

$(1 - 6x + 9x^2) - 9x^2 + 2x = 5$

$1 - 6x + 9x^2 - 9x^2 + 2x = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (-6x + 2x) + 1 = 5$

$-4x + 1 = 5$

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-4x = 5 - 1$

$-4x = 4$

Разделим обе части на -4:

$x = \frac{4}{-4}$

$x = -1$

Ответ: -1.