Номер 573, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 573, страница 104.

Условие.

573. Решите уравнение:

1) $(x - 8)^2 - x(x + 6) = -2;$

2) $(x + 7)^2 = (x - 3)(x + 3);$

3) $(2x + 1)^2 - (2x - 1)(2x + 3) = 0;$

4) $x(x - 2) - (x + 5)^2 = 35.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - 8)^2 - x(x + 6) = -2$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго — распределительный закон умножения.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) - (x^2 + 6x) = -2$
$x^2 - 16x + 64 - x^2 - 6x = -2$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$(x^2 - x^2) + (-16x - 6x) + 64 = -2$
$-22x + 64 = -2$
Перенесем 64 в правую часть уравнения, изменив знак.
$-22x = -2 - 64$
$-22x = -66$
Разделим обе части уравнения на -22, чтобы найти $x$.
$x = \frac{-66}{-22}$
$x = 3$
Ответ: 3

2) $(x + 7)^2 = (x - 3)(x + 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 3^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 - 9$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую.
$x^2 - x^2 + 14x = -9 - 49$
Приведем подобные слагаемые.
$14x = -58$
Найдем $x$, разделив обе части на 14.
$x = \frac{-58}{14}$
Сократим полученную дробь на 2.
$x = -\frac{29}{7}$
Ответ: $-\frac{29}{7}$

3) $(2x + 1)^2 - (2x - 1)(2x + 3) = 0$
Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов.
$((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) - (2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3) = 0$
$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 6x - 2x - 3) = 0$
Приведем подобные слагаемые во второй скобке.
$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 4x - 3) = 0$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные.
$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 4x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые.
$(4x^2 - 4x^2) + (4x - 4x) + (1 + 3) = 0$
$4 = 0$
Получено неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.
Ответ: нет корней.

4) $x(x - 2) - (x + 5)^2 = 35$
Раскроем скобки в левой части уравнения.
$(x^2 - 2x) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 35$
$x^2 - 2x - (x^2 + 10x + 25) = 35$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки.
$x^2 - 2x - x^2 - 10x - 25 = 35$
Приведем подобные слагаемые.
$(x^2 - x^2) + (-2x - 10x) - 25 = 35$
$-12x - 25 = 35$
Перенесем -25 в правую часть уравнения.
$-12x = 35 + 25$
$-12x = 60$
Найдем $x$, разделив обе части на -12.
$x = \frac{60}{-12}$
$x = -5$
Ответ: -5