Номер 575, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 575, страница 105.

Условие.

575. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $$(* + b)^2 = * + 4ab + b^2;$$

2) $$(4x - *)^2 = 16x^2 - * + 100y^2;$$

3) $$(* - 5c)^2 = * - 20b^2c + 25c^2;$$

4) $$(7a^2 + *)^2 = * + * + 9b^6.$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данной задачи используются формулы сокращённого умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1)

Дано тождество: $(* + b)^2 = * + 4ab + b^2$.

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(x+b)^2 = x^2 + 2xb + b^2$, где $x$ – искомый одночлен в скобках. Правая часть тождества имеет вид $* + 4ab + b^2$.

Сравнивая средние члены обоих выражений, получаем: $2xb = 4ab$.

Отсюда находим $x$: $x = \frac{4ab}{2b} = 2a$.

Первая звёздочка в скобках – это $2a$.

Первый член в правой части тождества – это квадрат первого члена из скобок, то есть $x^2$. Подставляем найденное значение $x=2a$:

$* = (2a)^2 = 4a^2$.

Проверяем: $(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Ответ: первая звёздочка – $2a$, вторая звёздочка – $4a^2$.

2)

Дано тождество: $(4x - *)^2 = 16x^2 - * + 100y^2$.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член в скобках равен $4x$, его квадрат $(4x)^2 = 16x^2$, что соответствует первому члену в правой части.

Последний член в правой части, $100y^2$, является квадратом второго члена в скобках. Пусть второй член в скобках равен $y'$. Тогда $(y')^2 = 100y^2 = (10y)^2$. Отсюда $y' = 10y$.

Первая звёздочка – это $10y$.

Вторая звёздочка в правой части – это удвоенное произведение первого и второго членов из скобок: $* = 2 \cdot 4x \cdot 10y = 80xy$.

Проверяем: $(4x - 10y)^2 = (4x)^2 - 2(4x)(10y) + (10y)^2 = 16x^2 - 80xy + 100y^2$.

Ответ: первая звёздочка – $10y$, вторая звёздочка – $80xy$.

3)

Дано тождество: $(* - 5c)^2 = * - 20b^2c + 25c^2$.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Второй член в скобках равен $5c$, его квадрат $(5c)^2 = 25c^2$, что соответствует последнему члену в правой части.

Средний член в правой части, $-20b^2c$, равен удвоенному произведению первого и второго членов со знаком минус. Пусть первый член в скобках равен $x$. Тогда $2 \cdot x \cdot 5c = 20b^2c$.

Отсюда находим $x$: $10xc = 20b^2c \implies x = \frac{20b^2c}{10c} = 2b^2$.

Первая звёздочка – это $2b^2$.

Вторая звёздочка в правой части – это квадрат первого члена из скобок: $* = (2b^2)^2 = 4b^4$.

Проверяем: $(2b^2 - 5c)^2 = (2b^2)^2 - 2(2b^2)(5c) + (5c)^2 = 4b^4 - 20b^2c + 25c^2$.

Ответ: первая звёздочка – $2b^2$, вторая звёздочка – $4b^4$.

4)

Дано тождество: $(7a^2 + *)^2 = * + * + 9b^6$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член в скобках равен $7a^2$. Последний член в правой части, $9b^6$, является квадратом второго члена в скобках. Пусть второй член в скобках равен $y$. Тогда $y^2 = 9b^6 = (3b^3)^2$. Отсюда $y = 3b^3$.

Первая звёздочка (в скобках) – это $3b^3$.

Теперь находим звёздочки в правой части. Первая из них – квадрат первого члена из скобок: $* = (7a^2)^2 = 49a^4$.

Вторая звёздочка в правой части – удвоенное произведение первого и второго членов: $* = 2 \cdot 7a^2 \cdot 3b^3 = 42a^2b^3$.

Проверяем: $(7a^2 + 3b^3)^2 = (7a^2)^2 + 2(7a^2)(3b^3) + (3b^3)^2 = 49a^4 + 42a^2b^3 + 9b^6$.

Ответ: первая звёздочка – $3b^3$, вторая звёздочка – $49a^4$, третья звёздочка – $42a^2b^3$.