Номер 572, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 572, страница 104.

Условие.

572. Упростите выражение:

1) $(x - 12)^2 + 24x;$

2) $(x + 8)^2 - x(x + 5);$

3) $2x(x + 2) - (x - 2)^2;$

4) $(y + 7)^2 + (y + 2)(y - 7);$

5) $(a + 1)(a - 1) - (a + 4)^2;$

6) $(x - 10)(9 - x) + (x + 10)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x-12)^2+24x$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-12)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 - 24x + 144$

Теперь подставим это выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 24x + 144) + 24x = x^2 - 24x + 24x + 144 = x^2 + 144$

Ответ: $x^2 + 144$.

2) $(x+8)^2-x(x+5)$

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и раскроем вторые скобки, умножив $-x$ на каждый член в скобках:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) - (x \cdot x + x \cdot 5) = (x^2 + 16x + 64) - (x^2 + 5x)$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 16x + 64 - x^2 - 5x = (x^2 - x^2) + (16x - 5x) + 64 = 11x + 64$

Ответ: $11x + 64$.

3) $2x(x+2)-(x-2)^2$

Раскроем первые скобки умножением и вторые по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x \cdot x + 2x \cdot 2) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = (2x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 4)$

Раскроем вторые скобки (помним о минусе перед ними) и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4 = (2x^2 - x^2) + (4x + 4x) - 4 = x^2 + 8x - 4$

Ответ: $x^2 + 8x - 4$.

4) $(y+7)^2+(y+2)(y-7)$

Раскроем квадрат суммы и перемножим две другие скобки:

$(y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2) + (y \cdot y - 7 \cdot y + 2 \cdot y - 2 \cdot 7) = (y^2 + 14y + 49) + (y^2 - 5y - 14)$

Теперь уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 14y + 49 + y^2 - 5y - 14 = (y^2 + y^2) + (14y - 5y) + (49 - 14) = 2y^2 + 9y + 35$

Ответ: $2y^2 + 9y + 35$.

5) $(a+1)(a-1)-(a+4)^2$

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ для первой части и формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ для второй:

$(a^2 - 1^2) - (a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) = (a^2 - 1) - (a^2 + 8a + 16)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 1 - a^2 - 8a - 16 = (a^2 - a^2) - 8a + (-1 - 16) = -8a - 17$

Ответ: $-8a - 17$.

6) $(x-10)(9-x)+(x+10)^2$

Раскроем первые скобки, перемножив их члены, и вторые — по формуле квадрата суммы:

$(x \cdot 9 - x \cdot x - 10 \cdot 9 + 10 \cdot x) + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) = (9x - x^2 - 90 + 10x) + (x^2 + 20x + 100)$

Приведем подобные слагаемые в первых скобках:

$(-x^2 + 19x - 90) + (x^2 + 20x + 100)$

Теперь сложим два многочлена и снова приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 19x - 90 + x^2 + 20x + 100 = (-x^2 + x^2) + (19x + 20x) + (-90 + 100) = 39x + 10$

Ответ: $39x + 10$.