Номер 622, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §16. Квадрат суммы и квадарт разности двух выражений - номер 622, страница 109.

Условие.

622. При каких значениях переменных x и y выполняется равенство:

1) $(x+2)^2 + (y-6)^2 = -1;$

2) $(x+2)^2 + (y-6)^2 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим равенство $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = -1$.

Левая часть этого равенства представляет собой сумму квадратов двух выражений: $(x + 2)^2$ и $(y - 6)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что для любых значений $x$ и $y$ выполняются неравенства:

$(x + 2)^2 \ge 0$

$(y - 6)^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных величин также всегда будет неотрицательной:

$(x + 2)^2 + (y - 6)^2 \ge 0$

Однако в правой части исходного равенства стоит отрицательное число $-1$. Так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательной, данное равенство не имеет решений в действительных числах.

Ответ: таких значений не существует.

2)

Рассмотрим равенство $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 0$.

Левая часть равенства является суммой двух неотрицательных слагаемых, так как $(x + 2)^2 \ge 0$ и $(y - 6)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, данное равенство выполняется только в том случае, если одновременно верны два условия:

$\begin{cases} (x + 2)^2 = 0 \\ (y - 6)^2 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения получаем:

$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$

Из второго уравнения получаем:

$(y - 6)^2 = 0 \implies y - 6 = 0 \implies y = 6$

Таким образом, равенство выполняется только при $x = -2$ и $y = 6$.

Ответ: $x = -2$, $y = 6$.