Номер 628, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 628, страница 111.

Условие.

628. Найдите значение выражения, представив его предварительно в виде квадрата двучлена:

1) $y^2 - 8y + 16$, если $y = -4;

2) $c^2 + 24c + 144$, если $c = -10;

3) $25x^2 - 20xy + 4y^2$, если $x = 3, y = 5,5;

4) $49a^2 + 84ab + 36b^2$, если $a = 1\frac{1}{7}, b = 2\frac{5}{6}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сначала представим выражение $y^2 - 8y + 16$ в виде квадрата двучлена. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2 = y^2$, значит $a=y$. $b^2 = 16$, значит $b=4$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot y \cdot 4 = 8y$.
Таким образом, выражение можно записать как $(y - 4)^2$.
Теперь подставим значение $y = -4$ в полученное выражение:
$(y - 4)^2 = (-4 - 4)^2 = (-8)^2 = 64$.
Ответ: 64

2) Представим выражение $c^2 + 24c + 144$ в виде квадрата двучлена. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = c^2$, значит $a=c$. $b^2 = 144$, значит $b=12$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot c \cdot 12 = 24c$.
Выражение равносильно $(c + 12)^2$.
Подставим значение $c = -10$ в полученное выражение:
$(c + 12)^2 = (-10 + 12)^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

3) Представим выражение $25x^2 - 20xy + 4y^2$ в виде квадрата двучлена, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a^2 = 25x^2 = (5x)^2$, значит $a=5x$. $b^2 = 4y^2 = (2y)^2$, значит $b=2y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 5x \cdot 2y = 20xy$.
Следовательно, выражение можно записать как $(5x - 2y)^2$.
Подставим значения $x=3$ и $y=5,5$ в полученное выражение:
$(5x - 2y)^2 = (5 \cdot 3 - 2 \cdot 5,5)^2 = (15 - 11)^2 = 4^2 = 16$.
Ответ: 16

4) Представим выражение $49a^2 + 84ab + 36b^2$ в виде квадрата двучлена по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем выражении первый член это $(7a)^2$, а третий член это $(6b)^2$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot 7a \cdot 6b = 84ab$.
Таким образом, выражение можно записать как $(7a + 6b)^2$.
Подставим значения $a = 1\frac{1}{7}$ и $b = 2\frac{5}{6}$. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$a = 1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$
$b = 2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$
Теперь подставим эти значения в выражение:
$(7a + 6b)^2 = (7 \cdot \frac{8}{7} + 6 \cdot \frac{17}{6})^2 = (8 + 17)^2 = 25^2 = 625$.
Ответ: 625