Номер 634, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 634, страница 112.

Условие.

634. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $(4a + 3b)^2 - 8b(4a + b);$

2) $(10x + 3y)^2 - (8x + 4y)(8x - 4y).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(4a + 3b)^2 - 8b(4a + b)$

Чтобы представить данное выражение в виде квадрата двучлена, необходимо сначала упростить его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первый член выражения, $(4a + 3b)^2$, является квадратом суммы. Раскроем его по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(4a + 3b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2$

Второй член выражения, $-8b(4a + b)$, раскроем путем умножения одночлена на многочлен:

$-8b(4a + b) = -8b \cdot 4a - 8b \cdot b = -32ab - 8b^2$

Теперь сложим полученные результаты:

$(16a^2 + 24ab + 9b^2) + (-32ab - 8b^2) = 16a^2 + 24ab + 9b^2 - 32ab - 8b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$16a^2 + (24ab - 32ab) + (9b^2 - 8b^2) = 16a^2 - 8ab + b^2$

Полученное выражение $16a^2 - 8ab + b^2$ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x = 4a$ и $y = b$.

Проверим: $(4a - b)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot (4a) \cdot b + b^2 = 16a^2 - 8ab + b^2$.

Таким образом, исходное выражение равно $(4a - b)^2$.

Ответ: $(4a - b)^2$

2) $(10x + 3y)^2 - (8x + 4y)(8x - 4y)$

Сначала упростим данное выражение. Раскроем скобки в каждом члене.

Первый член, $(10x + 3y)^2$, является квадратом суммы. Раскроем его по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(10x + 3y)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot (10x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 100x^2 + 60xy + 9y^2$

Второй член, $(8x + 4y)(8x - 4y)$, представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Раскроем его по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(8x + 4y)(8x - 4y) = (8x)^2 - (4y)^2 = 64x^2 - 16y^2$

Теперь подставим раскрытые части обратно в исходное выражение:

$(100x^2 + 60xy + 9y^2) - (64x^2 - 16y^2)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$100x^2 + 60xy + 9y^2 - 64x^2 + 16y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(100x^2 - 64x^2) + 60xy + (9y^2 + 16y^2) = 36x^2 + 60xy + 25y^2$

Полученный трехчлен $36x^2 + 60xy + 25y^2$ является полным квадратом суммы. Его можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = 6x$ и $b = 5y$.

Проверим: $(6x + 5y)^2 = (6x)^2 + 2 \cdot (6x) \cdot (5y) + (5y)^2 = 36x^2 + 60xy + 25y^2$.

Таким образом, исходное выражение равно $(6x + 5y)^2$.

Ответ: $(6x + 5y)^2$