Номер 641, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 641, страница 113.

Условие.

641. Решите уравнение:

1) $x^2 + 12x + 36 = 0;$

2) $25x^2 - 30x + 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 + 12x + 36 = 0$

Данное уравнение является квадратным. Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, поэтому $a=x$. Свободный член $b^2 = 36$, поэтому $b=6$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Оно совпадает со вторым слагаемым в уравнении.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x+6)^2 = 0$

Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:

$x+6 = 0$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = -6$

Ответ: $-6$

2) $25x^2 - 30x + 9 = 0$

Это также квадратное уравнение. Левую часть можно представить в виде полного квадрата разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В этом уравнении $a^2 = 25x^2 = (5x)^2$, поэтому $a=5x$. Свободный член $b^2 = 9 = 3^2$, поэтому $b=3$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 5x \cdot 3 = 30x$. Это совпадает со вторым слагаемым в уравнении.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(5x-3)^2 = 0$

Приравняем основание степени к нулю:

$5x-3 = 0$

Перенесем -3 в правую часть:

$5x = 3$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$