Номер 646, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 646, страница 113.

Условие.

646. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях $x$. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$.

1) $x^2 - 6x + 10;$

2) $16x^2 + 24x + 25;$

3) $x^2 + x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи докажем, что каждое выражение всегда положительно, и найдем его наименьшее значение, используя метод выделения полного квадрата.

1) $x^2 - 6x + 10$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x-3)^2 - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x-3)^2 \ge 0$ для всех значений $x$.

Следовательно, выражение $(x-3)^2 + 1$ всегда будет больше или равно $0+1=1$.

Так как $1 > 0$, данное выражение принимает только положительные значения при всех значениях $x$.

Наименьшее значение достигается, когда слагаемое $(x-3)^2$ равно своему минимальному значению, то есть нулю. Это происходит при $x-3=0$, откуда $x=3$.

Наименьшее значение выражения равно $1$.

Ответ: Наименьшее значение равно 1 при $x=3$.

2) $16x^2 + 24x + 25$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
$16x^2 + 24x + 25 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 25 = ((4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 25 = (4x+3)^2 - 9 + 25 = (4x+3)^2 + 16$.

Поскольку $(4x+3)^2 \ge 0$ для всех значений $x$, то выражение $(4x+3)^2 + 16$ всегда будет больше или равно $0+16=16$.

Так как $16 > 0$, данное выражение принимает только положительные значения при всех значениях $x$.

Наименьшее значение достигается, когда $(4x+3)^2 = 0$. Это происходит при $4x+3=0$, откуда $x = -\frac{3}{4}$.

Наименьшее значение выражения равно $16$.

Ответ: Наименьшее значение равно 16 при $x = -\frac{3}{4}$.

3) $x^2 + x + 1$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
$x^2 + x + 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Поскольку $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для всех значений $x$, то выражение $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ всегда будет больше или равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Так как $\frac{3}{4} > 0$, данное выражение принимает только положительные значения при всех значениях $x$.

Наименьшее значение достигается, когда $(x + \frac{1}{2})^2 = 0$. Это происходит при $x + \frac{1}{2} = 0$, откуда $x = -\frac{1}{2}$.

Наименьшее значение выражения равно $\frac{3}{4}$.

Ответ: Наименьшее значение равно $\frac{3}{4}$ при $x = -\frac{1}{2}$.