Номер 644, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 644, страница 113.

Условие.

644. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $(3x+8)^2 - 2(3x+8)(3x-8) + (3x-8)^2;$

2) $(4x-7)^2 + (4x-11)^2 + 2(4x-7)(11-4x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $(3x + 8)^2 - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)^2$ не зависит от значения переменной, упростим его, используя формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
В данном случае, пусть $a = (3x + 8)$ и $b = (3x - 8)$.
Подставим эти значения в формулу:
$(3x + 8)^2 - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)^2 = ((3x + 8) - (3x - 8))^2$.
Теперь упростим выражение в скобках:
$(3x + 8 - 3x + 8)^2 = (16)^2 = 256$.
Полученное значение 256 является константой и не содержит переменную $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: 256.

2) Рассмотрим выражение $(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 + 2(4x - 7)(11 - 4x)$.
Для доказательства преобразуем данное выражение. Заметим, что $(11 - 4x) = -(4x - 11)$. Подставим это в выражение:
$(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 + 2(4x - 7)(-(4x - 11)) = (4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 - 2(4x - 7)(4x - 11)$.
Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:
$(4x - 7)^2 - 2(4x - 7)(4x - 11) + (4x - 11)^2$.
Это формула квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a = (4x - 7)$ и $b = (4x - 11)$.
Применим формулу:
$((4x - 7) - (4x - 11))^2$.
Упростим выражение внутри скобок:
$(4x - 7 - 4x + 11)^2 = (4)^2 = 16$.
Значение выражения равно 16, что является постоянным числом и не зависит от $x$.
Ответ: 16.