Номер 651, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений - номер 651, страница 113.

Условие.

651. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) $x^2 - 28x + 200$;

2) $9x^2 + 30x - 25$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы найти наименьшее значение выражения $x^2 - 28x + 200$, представим его в виде квадрата двучлена, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Запишем выражение следующим образом:

$x^2 - 28x + 200 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 14 + 200$

Для получения полного квадрата нам не хватает слагаемого $14^2=196$. Добавим и вычтем его:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 14 + 196 - 196 + 200 = (x^2 - 28x + 196) + (200 - 196) = (x - 14)^2 + 4$

Выражение $(x-14)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-14)^2 \geq 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при условии, что $x-14=0$, то есть при $x=14$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 4 = 4$.

Ответ: наименьшее значение равно 4 при $x = 14$.

2) Чтобы найти наименьшее значение выражения $9x^2 + 30x - 25$, также выделим полный квадрат. Сначала вынесем за скобки коэффициент при $x^2$.

$9x^2 + 30x - 25 = 9(x^2 + \frac{30}{9}x) - 25 = 9(x^2 + \frac{10}{3}x) - 25$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + \frac{10}{3}x = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3}$

Для получения полного квадрата добавим и вычтем $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$ внутри скобок:

$9(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3} + \frac{25}{9} - \frac{25}{9}) - 25 = 9\left(\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - \frac{25}{9}\right) - 25$

Раскроем скобки:

$9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 9 \cdot \frac{25}{9} - 25 = 9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 25 - 25 = 9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 50$

Выражение $9(x + \frac{5}{3})^2$ всегда неотрицательно, так как является произведением положительного числа и квадрата. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x + \frac{5}{3} = 0$, то есть при $x = -\frac{5}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 - 50 = -50$.

Ответ: наименьшее значение равно -50 при $x = -\frac{5}{3}$.